Predikat Logika dan Inferensi

Question

Asumsikan bahwa tiga predikat disajikan di bawah ini:

$H(x)$: $x$ adalah seekor kuda

$A(x)$: $x$ adalah seekor binatang

$T(x,y)$: $x$ adalah ekor $y$

Kemudian, terjemahkan inferensi berikut menjadi inferensi menggunakan ekspresi logika predikat dan buktikan apakah inferensi valid atau tidak (misalnya, menggunakan deduksi natural):

Kuda adalah binatang.

---

Ekor kuda adalah ekor binatang.

Pikiran saya: Saya cukup pandai menerjemahkan ekspresi logika predikat, tetapi di sini saya berjuang untuk menemukan rumus untuk ekor Kuda. Ide awal saya adalah untuk mempertimbangkan kalimat serupa seperti "w adalah ekor kuda" untuk membentuk kesimpulan yang diperlukan, tetapi tidak berhasil. Akan sangat senang mendengar ide-ide Anda tentang tugas ini.

Answer 1

Seperti yang disarankan dengan benar di lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "Ekor kuda adalah ekor binatang" dapat diformalkan sebagai $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ atau lebih tepatnya, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Tentu saja argumennya

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

adalah benar. Pertama, saya memberi Anda bukti informal tentang itu.

Kami ingin membuktikannya $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, di bawah hipotesis $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Jadi, mari kita perbaiki individu yang sewenang-wenang$x$ dan $y$ dan mari kita anggap itu $H(y) \land T(x,y)$, kami harus menunjukkannya $A(y) \land T(x,y)$. Sejak berdasarkan hipotesis$\forall y (H(y) \to A(y) )$, karenanya $H(y) \to A(y)$ memegang khusus $y$kami telah memilih. Lagipula, kami mengandaikan itu$H(y) \land T(x,y)$ dan khususnya $H(y)$memegang. Dengan modus ponens , dari$H(y) \to A(y)$ dan $H(y)$ itu mengikuti itu $A(y)$. Juga, karena kami mengandaikan itu$H(y) \land T(x,y)$, khususnya $T(x,y)$memegang. Begitu,$A(y) \land T(x,y)$. Karena itu, kami telah membuktikannya, semena-mena$x$ dan $y$, jika $H(y) \land T(x,y)$ kemudian $A(y) \land T(x,y)$. Jadi,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ memegang, di bawah hipotesis $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Anda dapat memformalkan bukti ini dalam deduksi alami sebagai berikut:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Petunjuk:

"$x$ adalah $P$'s tail "artinya $x$ adalah ekor $y$ dan $y$ adalah $P$.

"Ekor kuda adalah ekor binatang" artinya untuk semua ekor $x$ dan pembawa ekor $y$, ekor menjadi ekor kuda menyiratkan bahwa ekor menjadi ekor binatang (dimana untuk "menjadi $P$'s tail "masukkan definisi di atas).

Dengan formalisasi yang tepat dari parafrase ini, adalah mungkin untuk menemukan bukti formal dari kesimpulan tersebut.