Proyeksi Serge Lang
Pertanyaan ini merupakan tindak lanjut dari Identitas hingga isomorfisme yang diperlakukan sebagai identitas dalam pembuktian . Saya berpikir bahwa dengan semua bantuan baik yang diberikan di sana, sekarang saya akan dapat mengerjakan sketsa bukti yang diberikan oleh Lang untuk akibat wajar ganda dengan yang ada di utas di atas, dan untuk menghilangkan asumsinya tentang identitas berdasarkan identitas hingga isomorfisme di sana juga. Tapi saya tidak bisa. Inilah masalahnya:
Dalam "Fundamentals of Differential Geometry", 1999, hlm. 18-19, Serge Lang memberikan definisi berikut:
Dan ini akibat wajar dari teorema pemetaan terbalik:
Pertama-tama, beberapa klarifikasi: Morfisme artinya $ C^p$ peta, isomorfisme lokal artinya lokal $ C^p$diffeomorphism, isomorphism toplinear dapat dianggap sebagai isomorphism linier di sini. Selain itu, saya mengerti$ V_1 \subseteq E_1 $ dan $ V_2 \subseteq E_2 $, dan kebalikan lokal h, yang dirujuk Lang, menjadi $ \varphi^{-1} $, dan bukan kebalikan dari turunannya, seperti yang tersirat dari kata-kata Lang.
Sekali lagi, yang tidak saya lihat adalah bagaimana caranya $ \varphi^{-1} $ memenuhi persyaratan akibat wajar.
Untuk menghilangkan identifikasi $ E_2=F $ dalam buktinya, biarkan saja
$ \varphi: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F $.
Kemudian perkenalkan $ C^p $ diffeomorphism
$ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times F: \quad (x_1,x_2) \mapsto (id_1, D_2f(a_1,a_2))[x_1,x_2] $
dan ganti $ h:=\varphi^{-1} $ oleh $ C^p $ diffeomorphism $ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow E_1 \times E_2 $. Tapi dengan ini, bagaimana peta yang dihasilkan$ f \circ h \circ g: E_1 \times E_2 \rightarrow F $ faktor menjadi proyeksi biasa $ V_1 \times V_2 \rightarrow V_2 $ dan isomorfisme linier $ V_2 \rightarrow W(0) \subseteq F $ dengan lingkungan terbuka W?
Bisakah kita menyatakan peta lokal $ \varphi^{-1} $secara eksplisit? Apakah itu$ \varphi^{-1}(x_1,y) = (x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) $ untuk $ y \in F $?
Jelas $ \varphi^{-1}(\varphi(x_1,x_2))= \varphi^{-1}(x_1,f(x_1,x_2)) = (x_1,x_2) $. Tetapi sebaliknya tidak diselesaikan dengan baik:
$ \varphi(\varphi^{-1}(x_1,y))= \varphi(x_1, pr_2 \circ f^{-1}(y)) =(x_1,f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(y)) $.
Dan omong-omong, bisakah kita menganggap f juga bisa dibalik secara lokal? Mengevaluasi komposisi$ f \circ h \circ g $ sepertinya tidak mengarah kemana-mana
$ f(h(g(x_1,x_2))) = f(h(x_1,D_2f(a_1,a_2)[x_2])) = f(x_1,pr_2 \circ f^{-1}(D_2f(a_1,a_2)[x_2])) $.
Jadi, bagaimana melanjutkannya? Di mana kesalahannya, atau ide apa yang diperlukan? Saya berpikir untuk secara eksplisit memperkenalkan proyeksi$ pr_2: E_1 \times E_2 \rightarrow E_2 \equiv (\{0\} \times E_2) \subseteq (E_1 \times E_2) $ di awal komposisi: $ f \circ h \circ g \circ pr_2 $, tapi sayangnya proyeksinya tidak ada $ C^p $-diffeomorphism.
Jawaban
Dalam hal ini, jauh lebih mudah tersesat.
Jika kita melalui bukti mari kita definisikan ulang $$\varphi:U\to E_1\times F, \quad (x,y)\mapsto (x,f(x,y))$$ ini juga sedikit berbeda dari apa yang dilakukan Lang di situ $\varphi$ tidak ditentukan di seluruh ruang $E_1\times E_2$, sejak $f$ sendiri hanya ditentukan di lingkungan sekitar $U$. Namun pernyataan ini jauh dari serius.
Turunannya adalah: $$D\varphi(x,y)\ [w_1,w_2]= \bigg[w_1, D_1f(x,y)\ [w_1] + D_2f(x,y)\ [w_2]\bigg]$$
Ini dapat dibalik pada $(a_1,a_2)$. Anda dapat menggunakan notasi matriks, seperti halnya Lang, untuk menyederhanakan ini - perhatikan itu untuk$A, C$ bisa dibalik Anda memiliki itu $$\begin{pmatrix}A&0\\ B& C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1}\end{pmatrix}$$
Dari teorema fungsi invers dapat disimpulkan bahwa ada beberapa invers lokal $$h: V_1\times V_2\to E_1\times E_2$$ dengan $V_1\subseteq E_1, V_2\subseteq F$ terbuka sehingga $\varphi(a_1,a_2)\in V_1\times V_2$ (dan $h(V_1\times V_2)\subseteq U$).
Karena itu kebalikan lokal yang Anda miliki $\varphi \circ h=\mathrm{id}_{V_1\times V_2}$. Tuliskan komposisi ini:$$(\varphi\circ h)(x,y)=(h_1(x,y), f(h(x,y)) ) \overset!= (x,y)$$ karenanya $f(h(x,y)) = y$, yang merupakan hasil yang diinginkan.
Apa yang saya lakukan di sini adalah memeriksa bukti dan menyesuaikannya menjadi bukti pernyataan tanpa mengasumsikan itu $E_2=F$. Dari membaca pemikiran Anda, saya pikir Anda ingin melakukan hal yang sama, tetapi sebagai adaptasi Anda ingin memasukkan isomorfisme$D_2f(a_1,a_2)$di setiap tahap di mana identifikasi berlangsung. Ini juga mungkin, dan mungkin lebih sistematis, tetapi lebih mudah hilang.
Cara ketiga untuk melakukannya adalah dengan menggunakan pernyataan aktual yang diturunkan oleh Lang, yang berarti kasusnya $E_2=F$, dan bekerja dengan pernyataan ini saja untuk mendapatkan kasusnya $E_2\neq F$. Di sini pertama-tama kita perlu menggunakan identifikasi untuk mengetahui situasinya$E_2=F$, lalu terapkan teorema dan setelah itu gunakan identifikasi untuk kembali ke situasi tersebut $E_2\neq F$.
Biarkan sia-sia ini $T:F\to E_2$menjadi isomorfisme apapun , misalnya$T=D_2f(a_1,a_2)^{-1}$. Lalu jika$$f:U\to E_1\times F$$ adalah peta dengan $D_2f(a_1,a_2)$ menjadi pertimbangan yang bisa dibalik $\tilde f:=f\circ (\mathrm{id}_{E_1}, T): E_1\times F\to E_1\times F$. Di sini kami telah memodifikasi$f$ untuk menjadi peta dari formulir yang diperlukan, perhatikan itu $$D_2\tilde f = D_2f(a_1,a_2)\circ T$$ yang dapat dibalik - Anda demikian dalam situasi lemma di mana $E_2=F$.
Menerapkan teorema: Adanya a $\tilde h:V_1\times V_2\to E_1\times F$ yang seperti itu $\tilde f \circ \tilde h$adalah proyeksi ke komponen kedua. Tapi:$$\tilde f\circ \tilde h = f\circ ( (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h)$$ Mendefinisikan $h:= (\mathrm{id}_{E_1},T)\circ \tilde h$ kemudian memungkinkan Anda untuk memulihkan lemma yang baru saja Anda miliki $E_2\cong F$, bukan seluruhnya $E_2=F$.