Pseudoinverse dari keadaan kuantum

Question

Entropi relatif-maks antara dua keadaan didefinisikan sebagai $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, dimana $\lambda$ adalah bilangan real terkecil yang memuaskan $\rho\leq \lambda\sigma$, dimana $A\leq B$ digunakan untuk menunjukkan itu $B-A$ adalah semidefinite positif.

Cara alternatif untuk mengekspresikan entropi relatif maks adalah

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

dimana $\|\cdot\|_\infty$adalah norma operator yang pada dasarnya memilih nilai eigen terbesar. Saya melihat bahwa ide dasarnya adalah

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Memilih sekecil mungkin $\lambda$ menghasilkan kesetaraan dan karenanya seseorang pulih $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ cara ini.

---

Saya berasumsi itu $\sigma^{-1}$ di sini diperoleh

1. Mendiagonalisasi $\sigma$
2. Mengambil kebalikan dari semua nilai eigen bukan nol dan meninggalkan nilai eigen nol sebagaimana adanya
3. Tidak mendiagonalisasi $\sigma$ lagi.

Namun, ini tidak masuk akal karena bagi saya karena saat mendukung $\rho$ lebih besar dari dukungan $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. Namun, sepertinya$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ tidak pernah bisa tak terbatas.

Jadi bagaimana seseorang memperolehnya $\sigma^{-1}$?

Answer 1

Ada masalah dalam penurunan yang Anda sajikan, sejak $\rho \leq \lambda \sigma$ hanya setara dengan $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ kapan $\sigma$ dapat dibalik (atau setidaknya saat $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, sehingga Anda dapat membatasi ruang untuk $\mathrm{supp}(\sigma)$alih-alih seluruh ruang Hilbert). Properti tidak benar jika tidak: pertimbangkan misalnya$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ sebagai contoh balasan.

Semua dalam semua, hanya jika kondisinya $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ puas dapatkah kita menyimpulkan itu $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.