Sheafifikasi presheaf konstan

Question

Saya membaca tentang sheafifikasi tetapi terlalu abstrak bagi saya. Saya mencoba untuk membuat contoh sheafifikasi dari presheaf konstan dan penasihat saya memberi saya contoh ini: Mari$X$ menjadi ruang topologi dan $A$jadilah kelompok abelian. Membiarkan$\mathfrak{A}^+$ menjadi presheaf dari fungsi berkelanjutan, yaitu $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ dimana $A$ memiliki topologi diskrit, untuk setiap set terbuka $U$. Ada 3 hal yang dia ingin saya tunjukkan:

(1) $\mathfrak{A}^+$ adalah kumpulan kelompok abelian.

(2) Semua batang $\mathfrak{A}^+_x=A$.

(3) Peta alam $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ dari berkas konstan menginduksi isomorfisme pada batang

(1) mudah karena suatu fungsi $0$ jika itu $0$secara lokal. Menurut saya (2) dan (3) seharusnya mudah karena kami tidak memiliki banyak informasi, tetapi anehnya saya tidak tahu cara menggunakannya.

Dalam (2), saya tahu petanya $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ kapan $V\subseteq U$hanyalah batasan. Menurut definisi, tangkai$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$. Tetapi bagaimana Anda mengonversi definisi (kelompok fungsi berkelanjutan) menjadi$A$? Saya bahkan merasa kami kekurangan informasi di sini karena kami bahkan tidak tahu struktur set terbuka di dalamnya$X$, dan saya tidak melihat peta alami dari batas langsung hingga $A$.

(3) bahkan lebih ambigu bagi saya. Mengatakan$U$terbuka. Bagaimana Anda memetakan elemen secara alami$A=\mathfrak{A}$, ke suatu fungsi $U\to A$ di $\mathfrak{A}^+$? Saya tahu bahwa peta memenuhi diagram, jadi$f_U(a)|_V=f_V(a)$ dimana $V\subseteq U$adalah set terbuka. Menurut (2) batang keduanya adalah$A$, tapi saya tidak berpikir peta yang diinduksi akan menjadi identitas, jadi akan lebih sulit bagi saya untuk memahami mengapa ini adalah iso?

Saya hanya pemula dalam Geometri Aljabar jadi pertanyaan-pertanyaan ini mungkin sudah jelas. Terima kasih.

Answer 1

(1) Jauh lebih umum (dan karena itu jauh lebih mudah!):
Diberikan ruang topologi yang berubah-ubah$Y$ ada berkas $\mathcal C_Y$ di $X$ ditandai dengan persyaratan untuk setiap subset terbuka $U\subset X$ kita punya $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$, himpunan fungsi berkelanjutan $U\to Y$.
Anda$ \mathfrak A^+$ adalah berkas yang tepat $\mathcal C_A$, dimana $A$ diberkahi dengan topologi diskrit.

(2) Kami memiliki morfisme kelompok abelian $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ Didefinisikan sebagai berikut: diberi kuman $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ kami mewakilinya dengan beberapa fungsi berkelanjutan $g:U\to A$ dan kami mendefinisikan $i(\gamma)=g(x)$.
Morfisme ini adalah isomorfisme karena ia memiliki kebalikan eksplisit morfisme grup$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ mengirim $a\in A$ untuk $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$, kuman di $x$ dari fungsi konstan $\operatorname {const}(a): X\to A$ mengirim poin apa pun $X$ untuk $a$.

(3) Untuk lingkungan mana pun $U\subset X$ dari $x$ peta $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ jelas suntik, dan dengan demikian mengambil batas langsung peta $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$juga suntik.
Surjektifitas juga mudah: dalam notasi (b) kuman$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ adalah gambar di bawah $f$ dari kuman $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$.
Dan jadi kami telah membuktikan morfisme itu$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ memang bijective.