Temukan sudut segitiga $NPQ$.

Question

$ABC$ adalah segitiga. $ACM$ dan $BCN$ adalah segitiga sama sisi dimana $M$ dan $N$ berada di luar segitiga. $P$ adalah pusat $ACM$. $Q$adalah titik tengah AB. Kemudian temukan sudut segitiga$NPQ$.

Saya butuh solusi menggunakan homothety. Saya sudah menyelesaikan masalah, tetapi saya belum bisa mendapatkan solusi dengan homothety.

Solusi saya: (singkatnya) Mari kita ambil poin$R$ di $PQ$ garis dimana $PQ=QR$. segitiga$APQ$ dan $BQR$kongruen. Perhatikan juga bahwa segitiga NCP dan$NQR$kongruen. Sekarang tidak sulit untuk melihat NPR adalah segitiga sama sisi. Jadi jawabannya adalah$30°,60°,90°$.

Answer 1

Membiarkan $D$ menjadi titik tengah $BC$. Sejak$$\angle PCN = \angle QDN = 90+\gamma$$ dan $${PC \over QD} = {CN\over DN} = {2\over \sqrt{3}}$$ kami melihat itu $\triangle PCN\sim \triangle QDN$, jadi kesamaan spiral di $N$ mengambil $\triangle PCN$ untuk $\triangle QDN$. Tetapi kesamaan spiral ini menimbulkan kesamaan spiral baru yang juga berpusat pada$N$ dan mengambil $\triangle CDN$ untuk $\triangle PQN$ jadi mereka punya sudut yang sama.