Terikat pada nilai singular
Membiarkan $M \in \mathbb{R}^{d\times d}$menjadi matriks antisimetris. Apakah ada batas bawah / atas atau persamaan yang menghubungkan kedua besaran tersebut$$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \qquad \text{and} \qquad \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u \, ?$$ Ruas kanan adalah kuadrat dari nilai singular terkecil $A$. Perhatikan juga itu$u^* A u$ harus imajiner murni sementara $u^* A^T A u$ harus nyata.
Memang, komentar Stephen di bawah ini menunjukkan bahwa ruas kiri adalah nol. Bagaimana dengan matriks umum$A$, belum tentu antisimetris?
Jawaban
Terima kasih Stephen karena telah menunjuk pada ketidaksetaraan Cauchy-Scharz: kami punya $$ \left| u^* A u \right|^2 = \left| \left< Au, u \right> \right|^2 \leq \left< Au, Au \right> \left< u, u \right> = u^* A^T A u $$ untuk vektor normal $u$ dan matriks nyata $A$, karenanya $$ \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} \left|u^*Au\right|^2 \leq \min_{u \in \mathbb{C}^d, \lVert u \rVert = 1} u^*A^TA u $$ untuk matriks nyata apa pun $A$. Ruas kiri adalah nol untuk antisimetris$A$.