Turunan Integral With Limits

Question

Saya memiliki masalah berikut:

Membiarkan $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Temukan$(f^{-1})'(0)$.

Saya tahu itu jika $g' = f^{-1}(x)$ bahwa $g'(f(x))f'(x) = 1$. Jelas kapan$x$ aku s $3$, $f(x)$ aku s $0$. Jadi saya menemukan bahwa:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Pertanyaan saya adalah: sejak $f(x)$ awalnya merupakan evaluasi integral dari $3$ untuk $x$, seharusnya tidak $x$ menjadi $3$melintasi persamaan, membuat upaya untuk mengambil turunannya tidak berguna? Apakah ini akan mengakibatkan solusi menjadi "tidak ditentukan" karena Anda tidak dapat membagi$(1)$nol? Atau, apakah turunan secara efektif membatalkan batasan?

Answer 1

Dengan Teorema Dasar Kalkulus , Anda sudah$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Atau ingat itu $x=f(f^{-1}(x))$, jadi turunkan kedua sisi persamaan dan menggunakan aturan rantai yang kita miliki $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

begitu $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

kemudian sejak $f(3)=0$ kita punya $f^{-1}(0)=3$ (seperti yang Anda sebutkan) dan dengan demikian

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Seluruh jawaban saya di sini akan didasarkan pada fakta yang Anda asumsikan $x \geq 3$. Jika saya salah, keraguan Anda seharusnya terkait dengan pengertian batasan dalam integrasi.

Saya ingin Anda mengingat kembali prinsip dasar turunan.

Prinsip diferensiasi pertama.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Di sini kita mendapatkan nilai turunannya dengan menjalankan $h$ di lingkungan positif dan negatif dari $0$.
Karenanya mendapatkan perubahan yang sangat kecil$f(x)$ di lingkungan $x$ atas perubahan yang sangat kecil $x$.

Tetapi ketika salah satu dari lingkungan tersebut tidak ada di domain dekat $x$ kami hanya dalam satu arah saja.

Sebagai contoh $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ dll ...

Anda mendapatkan gambaran saya kira. Sekarang Anda akan mempertanyakan pengertian dari turunan ini. Ini adalah ketika apa yang akan menjadi kemiringan (laju perubahan) dari kurva / fungsi ketika itu akan menuju satu-satunya arah yang diizinkan.

Demikian pula, di sini fungsi yang dimaksud memiliki sifat seperti itu.

Solusi yang lebih tepat untuk turunan tersebut dengan prinsip pertama dapat diberikan sebagai: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Untuk fungsi khusus ini arti dari turunan pada $x=3$ seharusnya: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

Persamaan di atas mengatakan itu $x$ hanya akan bervariasi di lingkungan positif $3$.