ukuran borel pada satu set
Membiarkan $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ terus menerus benar ($f(x) = \lim\limits_{h\to 0^+} f(x+h) \,\forall x \in \mathbb{R}^n$) dan $n$-meningkat (mis $\Delta_{(a,b]} F \geq 0\,\forall a \leq b$ (sini $\leq $ dipahami secara komponen), di mana volume interval multivariat di bawah $f$ aku s $\Delta_{(a,b]}F := \sum_{i\in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_{j=1}^n i_j} F(a_1^{i_1}b_1^{1-i_1},\cdots, a_n^{i_n}b_n^{1-i_n}).$ Tunjukkan bahwa ada pengukur Borel yang unik $\mu_F$ seperti yang $\mu_F((a,b]) = \Delta_{(a,b]} F, a\leq b.$
Saya pikir saya harus menggunakan teorema ekstensi Caratheodory. Saya sedang berpikir untuk menggunakan cincin itu$R := \{(a,b] \in \mathbb{R}^n : a\leq b\} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^n),$ dimana $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ menunjukkan Boreal $\sigma$-aljabar aktif $\mathbb{R}^n.$ Saya perlu mendefinisikan ukuran $\mu_0$ di $R,$ mengatakan $\mu_0(\cup_{i=1}^\infty (a_i, b_i]) = \sum_{i=1}^\infty \Delta_{(a_i,b_i]} F.$ Kemudian jika saya dapat memverifikasi ini sebagai ukuran, orang jelas akan memilikinya $\mu_F(A) = \mu_0(A)$ untuk setiap kumpulan bukan nol $R,$ jadi dengan teorema ekstensi Caratheodory, $\mu_F$ unik.
Apakah ini salah?
Jawaban
Seperti yang Anda sebutkan dalam posting Anda, ini dapat diperoleh dengan penerapan teorema ekstensi Caratheorody, meskipun mungkin lebih nyaman untuk mempertimbangkan semiring (lihat Yayasan probabilitas Kallenberg)
Pertimbangkan ukuran di ruang Borel $(\mathbb{R}^d,\mathscr{B}(\mathbb{R}^d))$. Untuk${\bf x},\,{\bf y}\in\,\mathbb{R}^d$, kami menggunakan notasi ${\bf x}\leq {\bf y}$, dan ${\bf x}<{\bf y}$ untuk menunjukkan itu $x_k\leq y_k$ dan $x_k<y_k$ masing-masing dan mari kita juga menunjukkan ${\bf e}=(1,\ldots,1)^\top$. Terakhir, pertimbangkan koleksinya$\mathscr{E}$ dari semua $d$- interval dimensi $\prod^d_{k=1}(a_k,b_k]=({\bf a},{\bf b}]$ dengan $a_k\leq b_k$, yang jelas merupakan semiring.
Untuk fungsi apa pun $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ definisikan $j$operator -increment $$\Delta_j(a,b)F({\bf s})= F(s_1,\ldots,s_{j-1},b,s_{j+1},\ldots,s_d)-F(s_1,\ldots,s_{j-1},a, s_{j+1},\ldots,s_d)$$ dan konvensi yang jelas untuk $j=1$ dan $j=d$. Jelas$\Delta_j(a, b)$ linier.
Untuk berpasangan $\{(a_j,b_j):j=1,\ldots,n\}$ dengan $a_j<b_j$, Kita gunakan $\prod^n_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$ komposisi $\Delta_n(a_n,b_n)\circ\prod^{n-1}_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)$, dimana $\prod^1_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)=\Delta_1(a_1,b_1)$.
Membiarkan $F:\mathbb{R}^d\longrightarrow\mathbb{R}$ menjadi benar - terus menerus, yaitu, $\lim_{{\bf x}\searrow{\bf a}}F({\bf x})=F({\bf a})$. Untuk$a\leq b$ dan $1<j<d$ dilambangkan dengan
Teorema: Misalkan$F$benar - terus menerus dan memiliki peningkatan yang tidak negatif , yaitu,$\mu(({\bf a},{\bf b}]):=\prod^d_{j=1}\Delta_j(a_j,b_j)F\geq0$ untuk apapun $d$- interval dimensi $({\bf a},{\bf b}]$. Kemudian$\mu$ mengakui perluasan ukuran pada a $\sigma$--aljabar $\mathcal{M}_\mu\supset\mathscr{B}(\mathbb{R}^d)$.
Sketsa bukti:
Jelas $\mu(\emptyset)=0$ dan $\mu$ adalah aditif halus $\mathscr{E}$. Kami sekarang membuktikannya$\mu$ terhitung subaditif aktif $\mathscr{E}$. Jika$({\bf a},{\bf b}]=\bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]$, kanan - kontinuitas dan kepositifan peningkatan $F$ menyiratkan bahwa untuk setiap $\varepsilon>0$, Ada ${\bf a}_\varepsilon$ dan ${\bf b}_\varepsilon(j)$ seperti yang $$ \mu(({\bf a},{\bf b}])< \mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}])+\tfrac{\varepsilon}{2}; \quad \mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)])< \mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\tfrac{\varepsilon}{2^{m+1}} $$ Sejak kotak tutup $[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]$ kompak dan $$\begin{align}\label{compactbox} [{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}] \subset ({\bf a},{\bf b}]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}(m)]\subset \bigcup^\infty_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))\tag{1}label{compactbox} \end{align} $$ ada $N_0\in\mathbb{N}$ seperti yang $({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset[{\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]\subset \bigcup^{N_0}_{m=1} ({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m))$. Aditivitas hingga menyiratkan subadditivitas hingga pada semiring$\mathscr{E}$, jadi $$\begin{align} \mu(({\bf a},{\bf b}])&<\mu(({\bf a}_\varepsilon,{\bf b}]) +\tfrac{\varepsilon}{2} \leq \sum^{N_0}_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}_\varepsilon(m)]) + \tfrac{\varepsilon}{2}\\ &\leq \sum^\infty_{m=1}\mu(({\bf a}(m),{\bf b}(m)])+\varepsilon \end{align} $$ Subadditivitas yang terhitung dari $\mu$ di $\mathscr{E}$ diikuti dengan membiarkan $\varepsilon\searrow0$. Kesimpulannya mengikuti dari teorema ekstensi Carath'eodory.