Vektor berputar di bidang

Question

Misalkan saya memiliki vektor gratis $ \vec{w}$ dan saya memiliki pesawat $ P$ dijelaskan dengan cara berikut:

$$ \vec{r} = \vec{r_o} + a \vec{u} + b \vec{v}$$

Dimana $a,b$ adalah parameter untuk divariasikan dan $ \vec{u}$ dan $ \vec{v}$ adalah vektor di bidang dan $ \vec{r_o}$ adalah vektor posisi ke beberapa vektor di bidang

Misalkan saya ingin memutar komponen $ \vec{w}$ di pesawat $P$ sepanjang sumbu sejajar dengan normal $P$, bagaimana saya menulis vektor baru yang dirotasi $ \vec{w'}$ yang memiliki komponen yang sama dengan $ w$ tegak lurus terhadap bidang dan bagian yang sejajar dengan bidang seperti yang diputar?

Saya tahu untuk memulai saya harus berpisah $ \vec{w}$ menjadi komponen tegak lurus dan sejajar bidang sebagai berikut;

$$ \vec{w} = \vec{w}_{\parallel} + \vec{w}_{\perp}$$

Tidak yakin apa yang saya lakukan setelah ini

Penggambaran visual:

Legenda:

Hitam = vektor asli

Oranye = bagian vektor yang sejajar dengan bidang

Hijau = bagian vektor sejajar dengan bidang yang diputar

Merah = vektor baru dengan komponen tegak lurus yang sama dengan bagian sejajar sepanjang bidang yang diputar

Answer 1

Diberikan $\vec w_\parallel$ dan $\vec w_\perp,$ membiarkan

$$\hat n = \frac{1}{\|\vec{w}_\perp\|} \vec{w}_\perp. $$

Kemudian $\hat n$adalah vektor normal satuan ke bidang. Selanjutnya, biarkan

$$ \vec w_= = \hat n \times \vec w_\parallel.$$

(Subskrip $=$ di sini tidak memiliki arti khusus kecuali yang terlihat seperti itu $\parallel$ diputar sembilan puluh derajat.) Lalu sejak $\hat n$ dan $\vec w_\parallel$ bersifat ortogonal, $\vec w_=$ adalah vektor di pesawat $P$ ortogonal untuk $\vec w_\parallel$. Selanjutnya, sejak$\hat n$ adalah vektor satuan, $\vec w_=$ memiliki besaran yang sama dengan $\vec w_\parallel$.

Sekarang untuk memutar $\vec w$ berdasarkan sudut $\theta$ di sekitar sumbu tegak lurus $P,$ membiarkan

$$ \vec w' = \vec w_\perp + (\cos \theta)\vec w_\parallel + (\sin\theta)\vec w_=.$$