Norma operatore e azione

Question

Definiamo la norma dell'operatore come $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ per $A ∈ L(H)$. Si dice che$||A||$ misura l'entità dell'azione di $A$.

Cosa si intende per azione di $A$ e cosa c'è in questa equazione?

Inoltre, come possiamo verificare se $A$ è limitato o illimitato con questa affermazione?

Answer 1

Un operatore è illimitato se la sua norma suprema è infinita. Ciò segue banalmente negando la definizione di un operatore limitato in uno spazio preBanach.

"Un operatore lineare $A :D(A) \rightarrow X$ è chiamato limitato, iff

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

Il valore massimo di $k$ sopra il dominio di A è chiamata la norma suprema di A.

Answer 2

Il sup nell'equazione è un supremum su tutti gli stati fuori dallo spazio di Hilbert $\mathcal{H}$. In altre parole, scegli lo stato$|\psi\rangle$ fuori da $\mathcal{H}$ per cui il numero $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$diventa il più grande. Si può dimostrare che la norma dell'operatore di$A$ corrisponde al più grande autovalore di $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Come operatore che agisce su$\mathcal{H}$, $A$ mappa uno stato fuori da esso a un altro, che potrebbe non essere normalizzato poiché non hai alcuna garanzia $A$essere unitario. Quindi puoi pensare all'azione di$A$ come misura per "quanto" non normalizzato $A|\psi\rangle$ è, dato che $|\psi\rangle$ è, cioè $\langle\psi | \psi \rangle=1$.