統計-ガンマ分布

ガンマ分布は、2パラメーターファミリーの連続確率分布を表します。ガンマ分布は、一般的に3種類のパラメーターの組み合わせで考案されます。

  • 形状パラメータ$ k $とスケールパラメータ$ \ theta $。

  • 形状パラメーター$ \ alpha = k $および逆スケールパラメーター$ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $は、レートパラメーターと呼ばれます。

  • 形状パラメータ$ k $と平均パラメータ$ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $。

各パラメーターは正の実数です。ガンマ分布は、次の基準によって駆動される最大エントロピー確率分布です。

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \および\は\固定されています。\\ [7pt] E [ln(X)] = \ psi(k)+ ln(\ theta)= \ psi(\ alpha)-ln(\ beta)\および\は\固定されています。} $

ここで-

  • $ {X} $ =確率変数。

  • $ {\ psi} $ =ディガンマ関数。

形状$ \ alpha $とレート$ \ beta $を使用した特性評価

確率密度関数

ガンマ分布の確率密度関数は次のように与えられます。

$ {f(x; \ alpha、\ beta)= \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha-1} e ^ {-x \ beta}} {\ Gamma(\ alpha)} \ where \ x \ ge 0 \および\\ alpha、\ beta \ gt 0} $

ここで-

  • $ {\ alpha} $ =位置パラメータ。

  • $ {\ beta} $ =スケールパラメータ。

  • $ {x} $ =確率変数。

累積分布関数

ガンマ分布の累積分布関数は次のように与えられます。

$ {F(x; \ alpha、\ beta)= \ int_0 ^ xf(u; \ alpha、\ beta)du = \ frac {\ gamma(\ alpha、\ beta x)} {\ Gamma(\ alpha)} } $

ここで-

  • $ {\ alpha} $ =位置パラメータ。

  • $ {\ beta} $ =スケールパラメータ。

  • $ {x} $ =確率変数。

  • $ {\ gamma(\ alpha、\ beta x)} $ =不完全ガンマ関数を下げます。

形状$ k $とスケール$ \ theta $を使用した特性評価

確率密度関数

ガンマ分布の確率密度関数は次のように与えられます。

$ {f(x; k、\ theta)= \ frac {x ^ {k-1} e ^ {-\ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma(k)} \ where \ x \ gt 0 \および\ k、\ theta \ gt 0} $

ここで-

  • $ {k} $ =形状パラメータ。

  • $ {\ theta} $ =スケールパラメータ。

  • $ {x} $ =確率変数。

  • $ {\ Gamma(k)} $ = kで評価されたガンマ関数。

累積分布関数

ガンマ分布の累積分布関数は次のように与えられます。

$ {F(x; k、\ theta)= \ int_0 ^ xf(u; k、\ theta)du = \ frac {\ gamma(k、\ frac {x} {\ theta})} {\ Gamma(k )}} $

ここで-

  • $ {k} $ =形状パラメータ。

  • $ {\ theta} $ =スケールパラメータ。

  • $ {x} $ =確率変数。

  • $ {\ gamma(k、\ frac {x} {\ theta})} $ =不完全ガンマ関数を下げます。