統計-尖度

分布の裾の程度は、尖度によって測定されます。これは、分布が正規分布よりも多かれ少なかれ外れ値になりやすい（重いまたは軽いテール）程度を示します。Investopediaの好意により、3つの異なるタイプの曲線が次のように示されています。

テールはすべての分布でゼロに近いため、密度プロット（左パネル）からさまざまな種類の尖度を識別することは困難です。しかし、テールの違いは、通常の分位数-分位数プロット（右パネル）で簡単に確認できます。

正規曲線はメソクルティック曲線と呼ばれます。分布の曲線が、通常の曲線または中程度の曲線よりも外れ値になりやすい（または裾が重い）場合、それはレプトクルティック曲線と呼ばれます。曲線が通常の曲線よりも外れ値が少ない（または尾が薄い）場合、それは板状曲線と呼ばれます。尖度はモーメントによって測定され、次の式で与えられます。

式

$ {\ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {\ mu_2}} $

ここで-

$ {\ mu_4 = \ frac {\ sum（x- \ bar x）^ 4} {N}} $

\ beta_2の値が大きいほど、曲線のピークまたはレプトカルティックが大きくなります。正規曲線の値は3で、レプトクルティックの\ beta_2は3より大きく、プラチクルティックの\ beta_2は3未満です。

例

Problem Statement:

工場の45人の労働者の日給に関するデータが与えられています。平均に関するモーメントを使用して\ beta_1と\ beta_2を計算します。結果についてコメントします。

賃金（ルピー）	労働者の数
100-200	1
120-200	2
140-200	6
160-200	20
180-200	11
200-200	3
220-200	2

Solution:

賃金（ルピー）	労働者数（f）	Mid-pt m	m- $ {\ frac {170} {20}} $ d	$ {fd} $	$ {fd ^ 2} $	$ {fd ^ 3} $	$ {fd ^ 4} $
100-200	1	110	-3	-3	9	-27	81
120-200	2	130	-2	-4	8	-16	32
140-200	6	150	-1	-6	6	-6	6
160-200	20	170	0	0	0	0	0
180-200	11	190	1	11	11	11	11
200-200	3	210	2	6	12	24	48
220-200	2	230	3	6	18	54	162
	$ {N = 45} $			$ {\ sum fd = 10} $	$ {\ sum fd ^ 2 = 64} $	$ {\ sum fd ^ 3 = 40} $	$ {\ sum fd ^ 4 = 330} $

偏差は仮定された平均から取られているので、最初に任意の原点に関するモーメントを計算し、次に平均に関するモーメントを計算します。任意の起源に関する瞬間「170」

$ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac {\ sum fd} {N} \ times i = \ frac {10} {45} \ times 20 = 4.44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 2 = \ frac {64} {45} \ times 20 ^ 2 = 568.88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 3 = \ frac {40} {45} \ times 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 4} {N} \ times i ^ 4 = \ frac {330} {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $

平均についてのモーメント

$ {\ mu_2 = \ mu'_2-（\ mu'_1）^ 2 = 568.88-（4.44）^ 2 = 549.16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3-3（\ mu'_1）（\ mu'_2）+ 2（\ mu'_1）^ 3 \\ [7pt] \、= 7111.11-（4.44）（568.88）+ 2（4.44）^ 3 \\ [7pt] \、= 7111.11-7577.48 + 175.05 = --291.32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4-4（\ mu'_1）（\ mu'_3）+ 6（\ mu_1）^ 2（\ mu'_2）-3 （\ mu'_1）^ 4 \\ [7pt] \、= 1173333.33-4（4.44）（7111.11）+6（4.44）^ 2（568.88）-3（4.44）^ 4 \\ [7pt] \、= 1173333.33-126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \、= 1113162.18} $

平均に関する動きの値から、$ {\ beta_1} $と$ {\ beta_2} $を計算できます。

$ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac {（-291.32）^ 2} {（549.16）^ 3} = 0.00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {（\ mu_2）^ 2 } = \ frac {1113162.18} {（546.16）^ 2} = 3.69} $

上記の計算から、歪度を測定する$ {\ beta_1} $はほぼゼロであり、分布がほぼ対称であることを示していると結論付けることができます。尖度を測定する$ {\ beta_2} $の値は3より大きいため、分布がレプトカルティックであることを意味します。