統計-確率加法定理

相互に排他的なイベントの場合

確率の加法定理は、AとBが2つの相互に排他的なイベントである場合、AまたはBのいずれかの確率は次の式で与えられます。

$ {P(A \または\ B)= P(A)+ P(B)\\ [7pt] P(A \ cup B)= P(A)+ P(B)} $

この定理は、相互に排他的な3つのイベントに拡張することもできます。

$ {P(A \ cup B \ cup C)= P(A)+ P(B)+ P(C)} $

Problem Statement:

カードは52枚のパックから引き出されますが、それがキングまたはクイーンである確率はどれくらいですか?

Solution:

イベント(A)=王のカードのドロー

イベント(B)女王のカードのドロー

P(カードドローはキングまたはクイーン)= P(カードはキング)+ P(カードはクイーン)

$ {P(A \ cup B)= P(A)+ P(B)\\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

相互に排他的でないイベントの場合

両方のイベントが発生する可能性がある場合、加法定理は次のように記述されます。

$ {P(A \または\ B)= P(A)+ P(B)-P(A \ and \ B)\\ [7pt] P(A \ cup B)= P(A)+ P(B )-P(AB)} $

Problem Statement:

射手は7発のうち3発を狙うことが知られています。別の射手が5発のうち2発でターゲットを攻撃することが知られています。両方が試みたときにターゲットがヒットする確率を見つけます。

Solution:

ファーストパーソンシューティングゲームがターゲットに当たる確率P(A)= $ {\ frac {3} {7}} $

2番目の射手がターゲットに当たる確率P(B)= $ {\ frac {2} {5}} $

イベントAとBは、両方の射手がターゲットに命中する可能性があるため、相互に排他的ではありません。したがって、適用可能な加法規則は次のとおりです。

$ {P(A \ cup B)= P(A)+ P(B)-P(A \ cap B)\\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} -(\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5})\\ [7pt] = \ frac {29} {35}-\ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $