統計-線形回帰
相互関係分析を使用して変数間の関係の程度が確立されたら、関係の性質を掘り下げるのは自然なことです。回帰分析は、変数間の因果関係を判断するのに役立ちます。独立変数の値がグラフィカルな方法または代数的な方法を使用して予測できる場合、他の変数（従属変数と呼ばれる）の値を予測することが可能です。
グラフィカルな方法
これには、X軸に独立変数、Y軸に従属変数を使用して散布図を描画することが含まれます。その後、ほとんどの分布を通過するように線が引かれ、残りの点は線の両側にほぼ均等に分布します。
回帰直線は、データの一般的な動きを要約する最適な直線として知られています。これは、一方の変数の最良の平均値が他方の平均値に対応することを示しています。回帰直線は、従属変数の予測値と観測値の間の偏差の2乗の合計を最小化する直線であるという基準に基づいています。
代数的方法
代数的方法は、Y上のXとX上のYの2つの回帰方程式を作成します。
X上のYの回帰方程式
$ {Y = a + bX} $
ここで-
$ {Y} $ =従属変数
$ {X} $ =独立変数
$ {a} $ = Y切片を示す定数
$ {b} $ =直線の傾きを示す定数
aとbの値は、次の正規方程式によって得られます。
$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $
ここで-
$ {N} $ =観測数
Y上のXの回帰方程式
$ {X = a + bY} $
ここで-
$ {X} $ =従属変数
$ {Y} $ =独立変数
$ {a} $ = Y切片を示す定数
$ {b} $ =直線の傾きを示す定数
aとbの値は、次の正規方程式によって得られます。
$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $
ここで-
$ {N} $ =観測数
例
Problem Statement:
研究者は、父と息子の体重傾向の間に相関関係があることを発見しました。彼は現在、与えられたデータから2つの変数に関する回帰方程式を作成することに興味を持っています。
| 父親の体重（kg） | 69 | 63 | 66 | 64 | 67 | 64 | 70 | 66 | 68 | 67 | 65 | 71 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 息子の体重（kg） | 70 | 65 | 68 | 65 | 69 | 66 | 68 | 65 | 71 | 67 | 64 | 72 |
発展させる
X上のYの回帰方程式。
Yの回帰方程式。
Solution:
| $ {X} $ | $ {X ^ 2} $ | $ {Y} $ | $ {Y ^ 2} $ | $ {XY} $ |
|---|---|---|---|---|
| 69 | 4761 | 70 | 4900 | 4830 |
| 63 | 3969 | 65 | 4225 | 4095 |
| 66 | 4356 | 68 | 4624 | 4488 |
| 64 | 4096 | 65 | 4225 | 4160 |
| 67 | 4489 | 69 | 4761 | 4623 |
| 64 | 4096 | 66 | 4356 | 4224 |
| 70 | 4900 | 68 | 4624 | 4760 |
| 66 | 4356 | 65 | 4225 | 4290 |
| 68 | 4624 | 71 | 5041 | 4828 |
| 67 | 4489 | 67 | 4489 | 4489 |
| 65 | 4225 | 64 | 4096 | 4160 |
| 71 | 5041 | 72 | 5184 | 5112 |
| $ {\ sum X = 800} $ | $ {\ sum X ^ 2 = 53,402} $ | $ {\ sum Y = 810} $ | $ {\ sum Y ^ 2 = 54,750} $ | $ {\ sum XY = 54,059} $ |
X上のYの回帰方程式
Y = a + bX
ここで、aおよびbは正規方程式によって得られます。
$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ...（i）
$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ...（ii）
式（i）に800を掛け、式（ii）に12を掛けると、次のようになります。
96000 a + 640000 b = 648000 ...（iii）
96000 a + 640824 b = 648588 ...（iv）
（iii）から式（iv）を引く
-824 b = -588
$ {\ Rightarrow} $ b = -.0713
式にbの値を代入します。（私）
810 = 12a + 800（-0.713）
810 = 12a + 570.4
12a = 239.6
$ {\ Rightarrow} $ a = 19.96
したがって、X上の方程式Yは次のように書くことができます。
Y上のXの回帰方程式
X = a + bY
ここで、aおよびbは正規方程式によって得られます。
$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ...（V）
$ {\ Rightarrow} $ 54,049 = 810a + 54、750 ...（vi）
式（v）に810を掛け、式（vi）に12を掛けると、次のようになります。
9720 a + 656100 b = 648000 ...（vii）
9720 a + 65700 b = 648588 ...（viii）
eqviiからeqviiiを引く
900b = -588
$ {\ Rightarrow} $ b = 0.653
式（v）にbの値を代入する
800 = 12a + 810（0.653）
12a = 271.07
$ {\ Rightarrow} $ a = 22.58
したがって、XとYの回帰方程式は次のようになります。