0의 미분성

Question

다음과 같이 주어진 함수를 고려하십시오.

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

나는 이제 결정하고 싶다$k$그리고$m$그런$f$에서 미분 가능하다$x=0$.

또한, 나는 결정하고 싶다$k$라인이$k=y-36x$는 다음과 같은 곡선에 수직이며,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

내가 끝낸 첫 번째 작업에 대해$m=1$그리고$k\in \mathbb{R}$. 맞나요 2차 과제 진행이 안됐네요

Answer 1

연속성:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

미분성:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

연속성과 미분성을 위한 2개의 방정식을 얻을 수 있습니다.

연속성 확인

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

차별성 확인 $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

결론을 내리도록 하겠습니다.