A- 이론의 정의
Waldhausen의 A- 이론은 대수적 K- 공간 이론의 버전입니다. 구체적으로 (뾰족한) 공간$X$, 그는 'Waldhausen 카테고리'를 고려합니다. $\mathcal R_f(X)$ 유한 후퇴 CW- 복합체의 $X$, 그의 적용 $S_{\bullet}$ 구성하고 무한 루프 공간을 얻습니다. $A(X)$. 펑터$A$ 고차원 기하학적 토폴로지에서 매우 중요합니다. 예를 들어 $Wh^{\text{Diff}}(X)$, 및 매개 변수화 $h$-Waldhausen, Jahren 및 Rognes의 cobordism 정리.
한동안 나는 믿었다 $A(X)$ (발트 하우젠이 그의 이론을 개발할 때 사용할 수 없었던 현대 기계를 사용하여) 동등하게 설명 할 수 있습니다. $K$-링 스펙트럼의 이론 $\sum^{\infty}_+ \Omega X$, 적절한 해석.
이번 주에는 연결된 구성 요소를 이해하는 데는 효과가있을 수 있지만 올바른 설명은 제공하지 않는다는 것을 알게되었습니다. $\pi_0$: 모든 연결된 공간 $X$, $\pi_0A(X)$ 단순히 $\mathbb Z$, 상대 세포 복합체의 상대 오일러 특성에 의해 제공됩니다. 또한 표준지도$A(X) \to K(\mathbb Z\pi_1(X))$ 표준지도를 유도합니다. $\mathbb Z \to K_0(\mathbb Z\pi_1(X))$ 연결된 구성 요소에서이 맵의 코 커널은 $\tilde{K}_0(\mathbb Z \pi_1)$, 이는 종종 사소하지 않습니다. (벽의 유한성 방해 참조).
그래서 내 질문은 다음과 같습니다. $A$-이론은 유한 상대 CW- 복합체와는 대조적으로 유한하게 지배적이라는 관점에서 정의되었으며, 내가 믿었던 것은 실제로 유지 되는가? 그리고 우리는이 차이가 있다는 것을 명심해야합니다.$\pi_0$,하지만 그 외에는 모두 괜찮습니까? 아니면 더 실질적인 일이 진행되고 있습니까?
이 질문이 모호하다면 미안하지만 이것에 대해 의아해 할 수있는 유일한 사람이 아니라는 느낌입니다 ...
답변
질문에 대한 답이없는 상태이므로 Tom Goodwillie의 의견을 복사하겠습니다.
유한 대신 유한 지배를 허용하면 π0 만 변경됩니다. 유사하게 K (R)를 정의 할 때 자유 대신 유한하게 생성 된 투영 모듈을 사용하면 π0 만 변경됩니다. 나는 이것이 Waldhausen의 큰 기초 논문 어딘가에서 논의되었다고 믿습니다. 그리고 EKMM 책에서 연결 링 스펙트럼에 대한 해당 문제에 대해 설명합니다.
더 자세히 $X$ 연결된 공간 완벽의 (∞-) 범주 $\mathbb{S}[\Omega X]$-modules는 유한하게 지배 된 수축 형 CW- 복합체 범주의 Spanier-Whitehead 범주입니다. $X$, 따라서 동일한 대수 K 이론을 가지고 있습니다. 유한 철회 CW 복합물로 제한$X$ 완벽의 안정적인 하위 범주를 취하는 것에 해당 $\mathbb{S}[\Omega X]$-colimit 아래의 자유 모듈에 의해 생성 된 모듈이므로 Waldhausen의 cofinality 정리에 의해 $\pi_0$ 와 $\mathbb{Z}$.
이것은 Jacob Lurie의 과정 Algebraic K-theory and manifold topology 의 Lecture 21 에서 자세히 설명됩니다 . 특히 경고 ~ 9에서 Lurie는 A- 이론에 대한 그의 정의가 "전통적인"이론과 다르다고 말합니다.$\pi_0$.