Adic 스펙트럼에 대한 자연지도
나는 필드에 대한 정규 곡선에 해당하는 adic 스펙트럼에 관한 다음 제안을 이해하기 위해 고군분투하고 있습니다. $k$:
명제 : Let$C$ 필드 위의 정규 곡선 $k$ 과 $K:=\operatorname{Frac}(A)$ 임의적으로 $\operatorname{Spec}A\subseteq C$ 기능 분야를 나타냅니다 $C$. 자연지도가 있습니다$\nu:C\to \operatorname{Spa}(K,k)$, 후자는 모든 평가 링의 집합입니다. $V$ 와 $k\subseteq V\subseteq K$ 과 $\operatorname{Frac}(V)=K$, 정의 $x\mapsto \mathcal{O}_{C,x}$.
나는 그것을 볼 수있다 $k\subseteq K$ 이후 $C$ 유한 유형입니다 $k$ 그리고 나도 알아 $C$ 정상 곡선 $k$ 암시한다 $\mathcal{O}_{C,x}$ 모두에 대한 개별 평가 링입니다. $x\in C$ 일반적인 요점이 아닙니다.
그러나 다음 사항을 이해하지 못합니다.
- 왜 $k\subseteq \mathcal{O}_{C,x}\subseteq K$ 보류?
- 왜 $\operatorname{Frac}(A)=\mathcal{O}_{C,\eta}\,,\,$ 와 $\eta$ 일반적인 요점 $C$? (나는 이것이 첫 번째 질문과 관련이 있다고 생각합니다)
미리 감사드립니다.
답변
더 구글 검색을하고 싶다면 adic 스펙트럼 $\mathrm{Spa}(K,k)$ 더 고전적으로는 Riemann-Zariski 공간으로 알려져 있습니다. $\mathrm{RZ}(K,k)$.
다른 질문은 adic 공간, 심지어 Riemann--Zariski 공간 또는 곡선과 관련이 없습니다. 그것들은 단지 적분 계획의 연구와 관련이 있습니다.
따라서 $X$ 링에 대한 적분 (= 환원 불가능 + 환원) 체계 $R$. 그런 다음 각$x$ 에 $X$ 하나는 정의에 따라
$$\mathcal{O}_{X,x}=\varinjlim\mathcal{O}(U)$$
어디 $U$ 열린 이웃의 범위 $U$ 의 $x$. 각 항목에 대해$U$ 구성
$$U\to X\to \mathrm{Spec}(R)$$
특히 링 맵을 생성합니다.
$$R\to \mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}(U)$$
각각을주는 $\mathcal{O}(U)$ 의 구조 $R$-대수학. 분명히, 구성에 따라 전통지도는
$$\mathcal{O}(V)\to \mathcal{O}(U)$$
...에 대한 $V\subseteq U$ 열린 이웃 $x$ 의지도입니다 $R$-algebars 및 따라서 우리는 colimit에 전달함으로써 $\mathcal{O}_{X,x}$ 이다 $R$-대수학. 또한, 모든 오픈$U$ 우리는 분해가 있습니다
$$R\to \mathcal{O}(U)\to \mathcal{O}_{X,x}$$
그래서지도가 $\mathcal{O}(U)\to\mathcal{O}_{X,x}$ 의지도입니다 $R$-대수.
또한 $y$ 일반화 포인트입니다 $x$ 그런 다음 자연지도
$$\mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,y}$$
이웃이 포함하고 있다는 사실에서 비롯됩니다. $x$ 모두 포함 $y$ 특히이지도는 분명히 $R$-대수.
마지막으로, 우리는 $X=\mathrm{Spec}(A)$, 다음 $A$ 정수 도메인이고 $\eta$ 일반적인 지점을 나타냅니다 $X$ 그런 다음 자연지도
$$A=\mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}_{X,\eta}$$
동형을 유도
$$\mathrm{Frac}(A)\xrightarrow{\approx}\mathcal{O}_{X,\eta}$$
그 이유는 간단합니다. 즉, 모든 열린 하위 집합부터$X$ 포함 $\eta$ 우리는 정의에 따라
$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)$$
어디 $U$ 열려있는 모든 하위 집합을 이동합니다. $X$. 그러나, 기본 오픈으로 받아 들일 수있는 공동 최종 오픈 시스템을 넘어서이 한계를 극복하는 것으로 충분합니다.$D(f)$ ...에 대한 $f\in A$. 그러나,$\mathcal{O}(D(f))=A_f$, 현지화 $A$ ...에서 $f$및 전환 맵
$$\mathcal{O}(D(f))\to\mathcal{O}(D(g))$$
...에 대한 $D(g)\subseteq D(f)$ 포함 사항입니다 $A_f\hookrightarrow A_g$ (참고 $D(g)\subseteq D(f)$ 의미 $V(g)\supseteq V(f)$ 의미하는 것은 $\sqrt{(f)}\subseteq \sqrt{(g)}$ 의미하는 것은 $f=g^n a$ 일부 $a\in A$, 우리가 거꾸로했다면 $g$ 우리는 반전했습니다 $f$ 따라서 포함이 있습니다 $A_g\hookrightarrow A_f$). 그러나 다음은 분명합니다.
$$\mathcal{O}_{X,\eta}=\varinjlim_U \mathcal{O}(U)=\varinjlim_{D(f)}\mathcal{O}(D(f))=\varinjlim_f A_f=\mathrm{Frac}(A)$$
바라는대로.
그래서 우리가 $A=k$ 위의 논의는 우리가 일련의 맵을 가지고 있음을 보여줍니다.
$$k\to \mathcal{O}_{X,x}\to\mathcal{O}_{X,\eta}\cong \mathrm{Frac}(A)$$