아크 탄의 한계

Question

다른 한도를 계산해야합니다. $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

나는 전에 한계에서 arctan을 다루지 않았기 때문에 시작하는 방법이나 무엇을 해야할지 전혀 모른다.

먼저 무엇을해야합니까?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$, 그래서 $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, 같이 $\tan x$ 과 $\arctan x$ 서로에 대한 역함수입니다. $x \in [0, \pi/2)$.

나머지는 직접 대체입니다. 다음을 받아야합니다.

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

우선 : 당황하지 마십시오! :-)

아크 탄젠트에 대한 좋은 정체성이 있습니다. $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ 제한이 있기 때문에 $x\to\infty$, 가정하는 것이 제한적이지 않습니다. $x>0$, 그래서 $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ 및 설정 $y=1/x$, 한도는 $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ 그것은 불확실한 형태가 아닙니다. $1^0=1$.