๋ฐฉ์ •์‹ ๐‘Ž๐‘ฅ + ๐‘๐‘ฆ = ๐‘ [duplicate]์˜ ์ผ๋ฐ˜ ์ •์ˆ˜ ์†”๋ฃจ์…˜์— ๋Œ€ํ•œ ์ฆ๋ช…

Dec 26 2020

์ฃผ์–ด์ง„ $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ ๊ณผ $N\in\mathbb{Z}$, ์‰ฝ๊ฒŒ ๋ณด์—ฌ์ค„ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ ์— ๋Œ€ํ•œ ํŠน์ • ์†”๋ฃจ์…˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค $ax+by=N$, ๋‹ค์Œ $x=x_0+\frac{b}{d}t$ ๊ณผ $y=y_0-\frac{a}{d}t$, ์–ด๋”” $d=gcd(a,b)$ ๊ณผ $t\in\mathbb{Z}$, ๋˜ํ•œ ์†”๋ฃจ์…˜์ž…๋‹ˆ๋‹ค $ax+by=N$.

๊ทธ๋Ÿฌ๋‚˜ ๊ทธ๋“ค์ด ์‹ค์ œ๋กœ ์ผ๋ฐ˜์ ์ธ ํ•ด๊ฒฐ์ฑ…์ด๋ผ๋Š” ๊ฒƒ์„ ์ฆ๋ช…ํ•˜๋Š” ๋ฐฉ๋ฒ•์„ ๋ฌผ์–ด๋ด๋„ ๋ ๊นŒ์š”? $ax+by=N$ ๋‚ด๋ถ€ ์†”๋ฃจ์…˜์„ ์ œํ•œํ•˜๋ฉด $\mathbb{Z}$? (์ฆ‰, ๋ชจ๋“  ์ •์ˆ˜ ์†”๋ฃจ์…˜์ด ๊ณ„์‚ฐ๋˜์—ˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค)

๊ฐ์‚ฌ!

๋‹ต๋ณ€

2 AmeetSharma Dec 26 2020 at 15:39

A๋ฅผ ๋ชจ๋“  ์ˆœ์„œ ์Œ ์ •์ˆ˜ ์†”๋ฃจ์…˜์˜ ์ง‘ํ•ฉ์ด๋ผ๊ณ ํ•ฉ์‹œ๋‹ค. B๋ฅผ ์‚ฌ์šฉ์ž๊ฐ€ ์ œ๊ณต ํ•œ ํ˜•์‹์˜ ๋ชจ๋“  ์ˆœ์„œ๊ฐ€ ์ง€์ •๋œ ์ •์ˆ˜ ์†”๋ฃจ์…˜ ์Œ์˜ ์ง‘ํ•ฉ์ด๋ผ๊ณ ํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค. ์šฐ๋ฆฐ ์•Œ์•„$B \subseteq A$

๋จผ์ € ๋ฐฉ์ •์‹์— ๋Œ€ํ•œ ๋ชจ๋“  ํ•ฉ๋ฆฌ์ ์ธ ์†”๋ฃจ์…˜์„ ์ฐพ์€ ๋‹ค์Œ ์ œํ•œํ•˜์‹ญ์‹œ์˜ค.

ํ—ˆ๋ฝํ•˜๋‹ค

$x=x_0+bu$

...์— ๋Œ€ํ•œ $u \in\mathbb{Q}$

์ด๊ฒƒ์€ ํ•ฉ๋ฆฌ์  x์— ๋Œ€ํ•ด u์— ๋Œ€ํ•ด ํ’€ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค.

๊ทธ๋ฆฌ๊ณ  ์‚ฌ์šฉ

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, ์ด๊ฒƒ์€ ๋˜ํ•œ ํ•ฉ๋ฆฌ์ ์ž…๋‹ˆ๋‹ค.

๋”ฐ๋ผ์„œ A์˜ ๋ชจ๋“  ์š”์†Œ๋Š” ๋‹ค์Œ๊ณผ ๊ฐ™์ด ์“ธ ์ˆ˜ ์žˆ์Šต๋‹ˆ๋‹ค. $(x_0+bu,y_0-au)$ ํ•ฉ๋ฆฌ์ ์ธ u.

๊ทธ๋Ÿฌ๋‹ˆ $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

์šฐ๋ฆฐ ์›ํ•œ๋‹ค

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

์“ฐ๋‹ค $u=\frac{m}{n}$. ์ด๊ฒƒ์ด ๊ฐ€์žฅ ๋‚ฎ์€ ์šฉ์–ด๋ผ๊ณ  ๊ฐ€์ •ํ•ฉ๋‹ˆ๋‹ค.

๊ทธ๋ž˜์„œ

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

๊ทธ๋ž˜์„œ $n|b$ ๊ณผ $n|a$

๊ทธ ์˜๋ฏธ๋Š” $n|d$ ์–ด๋”” $d=gcd(a,b)$

์šฐ๋ฆฌ๋Š” ์“ธ ์ˆ˜์žˆ๋‹ค $rn=d$ ์ผ๋ถ€ ์ •์ˆ˜ r์˜ ๊ฒฝ์šฐ

๊ทธ๋ž˜์„œ $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

๊ทธ๋ž˜์„œ $t=rm$, ์šฐ๋ฆฌ๋Š” $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

๊ทธ๋ž˜์„œ $A \subseteq B$ ์šฐ๋ฆฌ์—๊ฒŒ์ฃผ๋Š” $A=B$.