๋ฐฉ์ ์ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐ [duplicate]์ ์ผ๋ฐ ์ ์ ์๋ฃจ์ ์ ๋ํ ์ฆ๋ช
์ฃผ์ด์ง $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ ๊ณผ $N\in\mathbb{Z}$, ์ฝ๊ฒ ๋ณด์ฌ์ค ์ ์์ต๋๋ค. $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ ์ ๋ํ ํน์ ์๋ฃจ์ ์ ๋๋ค $ax+by=N$, ๋ค์ $x=x_0+\frac{b}{d}t$ ๊ณผ $y=y_0-\frac{a}{d}t$, ์ด๋ $d=gcd(a,b)$ ๊ณผ $t\in\mathbb{Z}$, ๋ํ ์๋ฃจ์ ์ ๋๋ค $ax+by=N$.
๊ทธ๋ฌ๋ ๊ทธ๋ค์ด ์ค์ ๋ก ์ผ๋ฐ์ ์ธ ํด๊ฒฐ์ฑ ์ด๋ผ๋ ๊ฒ์ ์ฆ๋ช ํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ ๋ฌผ์ด๋ด๋ ๋ ๊น์? $ax+by=N$ ๋ด๋ถ ์๋ฃจ์ ์ ์ ํํ๋ฉด $\mathbb{Z}$? (์ฆ, ๋ชจ๋ ์ ์ ์๋ฃจ์ ์ด ๊ณ์ฐ๋์์ต๋๋ค)
๊ฐ์ฌ!
๋ต๋ณ
A๋ฅผ ๋ชจ๋ ์์ ์ ์ ์ ์๋ฃจ์ ์ ์งํฉ์ด๋ผ๊ณ ํฉ์๋ค. B๋ฅผ ์ฌ์ฉ์๊ฐ ์ ๊ณต ํ ํ์์ ๋ชจ๋ ์์๊ฐ ์ง์ ๋ ์ ์ ์๋ฃจ์ ์์ ์งํฉ์ด๋ผ๊ณ ํฉ๋๋ค. ์ฐ๋ฆฐ ์์$B \subseteq A$
๋จผ์ ๋ฐฉ์ ์์ ๋ํ ๋ชจ๋ ํฉ๋ฆฌ์ ์ธ ์๋ฃจ์ ์ ์ฐพ์ ๋ค์ ์ ํํ์ญ์์ค.
ํ๋ฝํ๋ค
$x=x_0+bu$
...์ ๋ํ $u \in\mathbb{Q}$
์ด๊ฒ์ ํฉ๋ฆฌ์ x์ ๋ํด u์ ๋ํด ํ ์ ์์ต๋๋ค.
๊ทธ๋ฆฌ๊ณ ์ฌ์ฉ
$ax+by=N$
$a(x_0+bu)+by=N$
$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$
$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, ์ด๊ฒ์ ๋ํ ํฉ๋ฆฌ์ ์ ๋๋ค.
๋ฐ๋ผ์ A์ ๋ชจ๋ ์์๋ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ธ ์ ์์ต๋๋ค. $(x_0+bu,y_0-au)$ ํฉ๋ฆฌ์ ์ธ u.
๊ทธ๋ฌ๋ $(x_0+bu,y_0-au) \in A$
์ฐ๋ฆฐ ์ํ๋ค
$bu \in \mathbb{Z}$
$au \in \mathbb{Z}$
์ฐ๋ค $u=\frac{m}{n}$. ์ด๊ฒ์ด ๊ฐ์ฅ ๋ฎ์ ์ฉ์ด๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค.
๊ทธ๋์
$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$
$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$
๊ทธ๋์ $n|b$ ๊ณผ $n|a$
๊ทธ ์๋ฏธ๋ $n|d$ ์ด๋ $d=gcd(a,b)$
์ฐ๋ฆฌ๋ ์ธ ์์๋ค $rn=d$ ์ผ๋ถ ์ ์ r์ ๊ฒฝ์ฐ
๊ทธ๋์ $n = \frac{d}{r}$
$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$
$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$
๊ทธ๋์ $t=rm$, ์ฐ๋ฆฌ๋ $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$
๊ทธ๋์ $A \subseteq B$ ์ฐ๋ฆฌ์๊ฒ์ฃผ๋ $A=B$.