보어 모델의 보행 횟수

Question

물리학 분야에 대한 조합이 있습니다. 조합 문제를 이해하기 위해서만 익숙 할 필요는 없습니다. 에서 보어 모델 다음과 같은 그림이 있습니다

그것은에서 몇 가지 경로를 보여줍니다 $n\geq 2$ 레벨 $n=1$수평. 원하는 길을 걸을 수 있습니다. 예를 들어,$n=1$ ...에서 $n=3$ 다음 경로를 수행 할 수 있습니다. $\{3\to1,3\to 2\to 1\}$. 이것은 세 개의 화살표가 있음을 의미합니다. 화살표의 수는 스펙트럼 라인의 수입니다. 나는 나에게 가능한 화살표의 수를 제공하는 일반 공식을 알아 내려고 노력하고 있습니다.$n=k$ ...에 $n=1$그러나 나는 그것을 알아낼 수없는 것 같다. 방법을 설명 할 수 있습니까?

조합 문제 : 사이에 그릴 수있는 화살표 수 $n=k$ ...에 $n=1$ 길을 만들려면?

Answer 1

반복으로 화살표를 계산합니다. 에서 얻으려면$n$ ...에 $1$ 하위 집합을 선택 $\{2,\ldots,n-1\}$길을 따라 "정지"의 집합으로. 크기의 하위 집합을 선택하는 경우$k$, 화살표의 수는 $k+1$. 따라서 총 화살 수는

$$ f(n)=\sum_{k=0}^{n-2}{n-2\choose k}(k+1) $$

닫힌 양식은 $f(n)=n2^{n-3}$ (에 대한 $n\geq 2$).

반복하지 않고 화살표를 계산합니다. 알 마다 에서 화살표$i$ ...에 $j$ ...에 대한 $1\leq j<i\leq n$어떤 경로에 나타납니다. 따라서 반복되지 않는 화살표의 수는$2$-요소 하위 집합 $n$, 즉 ${n\choose 2}=\frac{1}{2}(n^2-n)$.