복잡한 미분 형태를 포함하는 계산

Question

저는 복잡한 기하학에 대한 이 강의 노트 를 읽고 있으며 복잡한 미분 형태를 포함하는 하나의 계산 (기본적으로 보임)에 갇혀 있습니다. 가정$X$ 복잡한 표면이고 $\omega$ 홀로 모픽 (1,0) 형식입니다. 즉 $\omega$ 운영자에 의해 살해 $\overline{\partial}$. 허락하다$\overline{\omega}$상응하는 (0,1) 켤레 형태입니다. 저자는 다음과 같이 주장합니다.

\ begin {equation *} d (\ omega \ wedge \ overline {\ omega}) = d \ omega \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {equation *}

이제부터 $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$, 오른쪽은 아무것도 아니지만 $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. 그러나 나는 왼쪽이 어떻게 같은 표현으로 쓰여질 수 있는지 볼 수 없다 (외부 도함수에 대한 일반적인 규칙 사용). 모든 통찰력을 주시면 감사하겠습니다.

Answer 1

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ RHS는 세 가지 형태로 $d\omega \wedge d\overline\omega$네 가지 형태입니다. 그들은 동일하지 않습니다.

메모를 보면서 그들은

이제 Stokes Theorem에 의해 $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (때문에 $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

나는 그것이 단지 오타라고 믿고 아마도 $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$