복소수로 Dirac 델타 함수의 표현

Question

책에서 Dirac 델타 함수에 대한 다음 표현을 발견했습니다. $$-2\pi i\delta(x-x') = \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\left\{\frac{1}{x'-x + i\epsilon} + \frac{1}{x-x' +i\epsilon}\right\}.$$

오른쪽에있는 함수의 동작을 볼 때 직관적 인 의미가 있다고 생각하지만 이것이 순전히 가상의 델타 함수를 제공한다는 사실이 저를 혼란스럽게합니다. 또한 여기에 제한이 실제로 필요한지 궁금합니다. 하나는 대체 할 수 없습니다$\epsilon = 0$ 그리고 그 표현은 여전히 ​​유효합니까?

이 책 밖에서이 표현에 대한 정보를 찾을 수없는 것 같습니다. 누구든지이 표현의 출처에 대해 자세히 설명하거나 관련 텍스트를 알려줄 수 있습니까?

감사합니다!

Answer 1

허락하다 $C(x)=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+x^2}$ (조심 한 기능).

[점에 유의하시기 바랍니다 $\int_{-\infty}^{+\infty} C(x)dx=1$].

극한을 표현하는 방정식의 오른쪽에 공통 분모를 주면 동등한 공식이됩니다.

$$2i \delta(x-x') \ = \ \lim_{\varepsilon \to 0}\ 2i \varepsilon C(\varepsilon (x-x'))$$

(그만큼 $2i$ 물론 취소) 이것은 실제로 사실입니다. 왜냐하면 원점에서 Cauchy의 기능에 존재하는 스파이크는 점점 더 높아지면서 좁아지고 영역은 일정하게 유지되기 때문입니다. $1$, 뭐든 $\varepsilon$),이 지역 조건은 우리가 실제로 Dirac을 가지고 있음을 보증합니다. $\delta$ 원점에서.

편집 : 분포의 존재와 속성을 아는 경우 다른 파생 모드가 존재합니다. $\dfrac{1}{x+i0}$ 과 $\dfrac{1}{x-i0}$ "주된 가치"분포와 다름 $PV(\dfrac{1}{x})$ 그러나 공식으로 연결

$$\dfrac{1}{x+i0}=PV(\dfrac{1}{x})−i\pi\delta$$

그리고 비슷한 것 $\dfrac{1}{x-i0}$당신이 발견 할 수 있도록 ... (ueltschi.org/teaching/2012-MA433/distributions.pdf의 3 페이지 참조). 이러한 배포판의 적용 예는 여기 에서 찾을 수 있습니다 .