부분 공간의 문제

Question

나는 몇 가지 quals를 위해 공부하고 있었고 작년 에이 문제에 부딪 쳤던 것을 기억하고 있습니다. 지금도 난 좀 당황해. 여러분들 아이디어가 있는지 궁금합니다. 문제는 다음과 같습니다.

허락하다 $ V $ 벡터 공간이되고 $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $정수 여야합니다. 허락하다$ \{V_i\} $ 모음집 $ n $의 차원 부분 공간 $ V $ 그 속성으로 $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ 모든 $ i\neq j $. 다음 중 하나 이상을 유지해야합니다.

(나는 모든 $ V_i $ 공통점을 공유하다 $ (n-1) $-차원 부분 공간.

(ii) $ (n+1) $-차원 부분 공간 $ V $ 모두 포함 $ V_i $.

Answer 1

먼저 다음을 보여 드리겠습니다.

어떠한 것도 $i,j,k$, 만약 우리가 $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ 그때 $V_i\subseteq V_k+V_j$.

참고 $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, 그래서 이것은 우리의 유일한 공통 후보입니다 $n+1$차원 초 공간.

자, 만약 $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, 우리는 벡터가 존재한다는 것을 압니다. $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ 선형 적으로 독립적 인 $V_j$. 하지만 그때부터$V_i\cap V_j$ 이다 $n-1$ 의 차원 부분 공간 $n$차원 공간 $V_i$, 우리는 그것을 얻습니다 $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

이제 우리가 논쟁해야 할 것은 $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ 일부 $i_0$, 다음 모든 $i$ 그런 $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$, 우리는 여전히 $V_i\subseteq V_k+V_j$.

이것은 이후 $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. 그렇지 않으면,$V_{i_0}$ 포함됩니다 $n-1$ 차원 부분 공간 $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ 따라서 차원을 세면 $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ 따라서 이전을 적용하면 $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

결국 우리는 원하는 것을 설정했습니다.