최소 다항식의 차수 찾기

Question

허락하다 $A\in M_3(\mathbb{R})$ 그렇게 될 $A^8=I$, 그런 다음 :

$(1)$ 최소 다항식 $A$ 정도일 수있다 $2$.

$(2)$ 최소 다항식 $A$ 정도일 수있다 $3$.

$(3)$ 어느 한 쪽 $A=I$ 또는 $-I$

$(4)$ 셀 수없이 많은 $A$ 위의 만족

내 접근 방식은 다음과 같습니다. $A$ 이다 $p(x)=x^8-1 = (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$ 그리고 우리는 $m_A(x)|p(x)$ 그리고 또한 $m_A(x)|\chi_A(x)$ 과 $\chi_A(x)$ 정도이다 $3$ 그래서 $m_A(x)$ 최대 수준이어야합니다 $3$.

허락하다 $A= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (댓글에서 Ravi Fernando가 제공 한대로) $m_A(x)=(x-1)(x^2+1)$ 그래서 옵션 $(1)$,$(2)$,$(3)$ 거짓이다

네 번째 옵션은 다음과 유사한 모든 행렬을 취할 수 있기 때문에 참입니다. $A$

Answer 1

허락하다 $O(\theta)$ 될 $2 \times 2$ 직교 행렬

$O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 1$

세트

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 2$

그때

$O^{-1}(\theta) = O^T(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}; \tag 3$

우리는

$O^T(\theta) P O(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta - \sin^2 \theta & 2 \cos \theta \sin \theta \\ 2 \cos \theta \sin \theta & \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} \cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2 \theta \end{bmatrix}, \tag 4$

분명히 셀 수없는 가족입니다 $2 \times 2$행렬; 더욱이,

$(O^T(\theta) P O(\theta))^2 = O^T(\theta) P O(\theta) O^T(\theta) P O(\theta) = O^T(\theta) P I P O(\theta)$ $= O^T(\theta)P^2 O(\theta) = O^T(\theta)I O(\theta) = I, \tag 5$

어떻게

$(O^T(\theta) P O(\theta))^8 = I \tag 6$

게다가; 이제 설정

$A(\theta) = \begin{bmatrix} O^T(\theta) P O(\theta) & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}; \tag 7$

그때

$A^8(\theta) = \begin{bmatrix} (O^T(\theta) P O(\theta))^8 & 0 \\ 0 & (-1)^8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I, \tag 8$

그리고 가족 $\{ A(\theta)\mid \theta \in \Bbb R \}$ 또한 셀 수 없습니다.