다항식을 찾으려면

Question

내 의심은 오늘 내가 가지고있는 PRMO 모델 논문에서 나온 것입니다. 질문의 이미지는 아래에 나와 있습니다 (점심을 먹어야했기 때문에 질문을 더 빨리 넣을 수있는 방법을 생각하고 이로 끝났습니다).

내가 시도한 것 :

나는 그것을 느꼈다 $f(x) - x^3$다항식의 2 차 부분의 값을 나에게 줄 수 있습니다. 결과적으로 2 차 부분을 다음과 같은 형식으로 취합니다.$ax^2 +bx + c$, 내가 얻는 차이점은 다음과 같습니다.

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

나는 3 개의 변수로 3 개의 선형 방정식을 푸는 데 전문가는 아니지만, 머리를 꺼내려고 노력했고 결국 끝났다. 나는 한 번에 두 개의 방정식을 취하려고 시도했고 동일한 변수에 대해 여러 값을 얻었습니다.

저를 기꺼이 도와 주신 분들께 감사드립니다.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

세 번째 방정식이 잘못되었습니다.

eq (2)에서 eq (1) 빼기

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ eq (3)

eq (3)에서 eq (1) 빼기

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ 이것을 모든 방정식에 대입하면 답을 얻을 수 있습니다.

Answer 2

참고 $f(x) = x^2$주어진 세 가지 방정식을 충족하십시오. 하지만 우리는 학위를 원합니다$3$ 그래서 우리는 추가합니다 $(x-1)(x-2)(x-3)$ 그리고 얻다 $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ 와 $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

힌트 : 고려 $f(x)-x^2$대신. 주어진 지점에서 0 인 다항식으로 작업하는 것이 훨씬 쉽습니다.

Answer 4

관련 솔루션 $x^2$ 질문 작성자가 의도 한 것일 가능성이 높으며, 가치를 빠르게 얻는 것도 쉽습니다. $f(4)$유한 차분을 사용하여 2 차를 추출하지 않고 허락하다$g(n) = f(n) - n^3$, OP에서와 같이 2 차가됩니다. 1 차 차이점은 다음과 같습니다.

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

따라서 2 차 차이는 $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, 모든 2 차 (또는 더 낮은) 다항식에 대해 상수입니다. 그 후$\Delta^2 g(2) = -10$, 그래서 $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, 및 $g(4) = g(3) -24 = -42$.

그래서 $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

우리는 $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ 과 $$9a+3b+c=-18,$$ 주는 $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ 과 $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ 그러므로, $$f(4)=22.$$

Answer 6

다항식에 대한 계수를 명시 적으로 결정할 필요는 없습니다. 실제로 고유성에 의해

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

건설에 의해 주어진 조건을 만족시키는 $f(1)=1$, $f(2)=4$ 과 $f(3)=9$, 다음

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

다른 답변에서 알 수 있듯이 더 속임수는

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

주어진 $f(x)$ , 1 차 3 차 다항식.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

요인 정리에 의해 우리는 $(x-1)$,$(x-2)$ 과 $(x-3)$ 의 요인이다 $f(x) - x^2$

3 개의 선형 인자가 있으므로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. $f(x)$ 같이,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, 여기서 k는 일부 상수입니다.

그러나 $f(x)$ 일원 다항식이므로 k = 1

따라서 다항식은 $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

퍼팅 x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

이것은 경쟁 수학 문제를 해결하는 일반적인 기술입니다. 여기에서 자세한 내용을 읽을 수 있습니다. https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/