다른 한계로 수렴

Question

메트릭 공간이 있습니까? $(\mathbb{R}, d)$ 그 시퀀스 $\{\frac{1}{n}\}$ 수렴 $3?$

다음은 다른 한계로 수렴하는 시퀀스입니다.

나는 이것을 시도했다 :하자 $A=\{\frac{1}{n}: n\in \mathbb{N}\}, B=3+A$. 또한 보자

$f(x)= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} x & x\notin A\cup B \\ x+3 & x\in A \\ x-3 & x\in B \end{array} \end{array} $

과 $d(x,y)=|f(x)-f(y)|$. 그런 다음 시퀀스는 3으로 수렴합니다.

Answer 1

예, 이것은 성공적인 건설입니다!

일반적으로 $(M,\delta)$ 모든 메트릭 공간이며 $f\colon \Bbb R\to M$ 어떤 주입 기능이든 $d(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ 메트릭을 정의합니다. $\Bbb R$, "풀백"이라고하는 $\delta$ ...에 $\Bbb R$. (아이디어는 "저기"이미지의 거리를 확인하여 "저기"거리를 측정하는 것입니다.) 귀하의 구성은 이것의 특별한 경우입니다.$M =\Bbb R$ 과 $\delta$ 일반적인 측정 항목 $\Bbb R$.

(실제로 풀백은 모든 세트에 대해 정의됩니다. $\Bbb R$.)