등가 관계의 횡단
관계 정의 $\mathbb{R}^2$ 으로 $(a, b)\sim(c, d)$ 경우에만 $(c-a, d- b) \in \mathbb{Z}^{2}$. 증명$\sim$등가 관계입니다. 식별$\mathbb{R}^2$ 평상시처럼 평면으로 가장 자연스러운 횡단을 설명하십시오. $\sim$, 찾을 수 있습니다. 이 질문이 도넛과 관련이 있다면?
이미 등가 관계를 증명했고 2 부 제공 이후 해답을 알고 있지만 이해하는데 어려움이 있습니다. 동등한 클래스에 대해 묻는 것 같습니까?
해결책:
자연스러운 횡단은 $I \times I$ 어디 $I = \{r | r \in \mathbb{R}, 0 \leq r < 1\}$. 의 상단과 하단에 가입$I$튜브를 형성하고 튜브를 둥글게 구부려 두 원을 연결합니다. 당신은 도넛 (수학적 언어의 원환 체)의 표면을 가지고 있습니다.
답변
동등성 관계에 대한 횡단은 정확히 한 지점에서 각 동등성 클래스를 교차하는 집합입니다. 세트$I\times I$ 관계에 대한 횡단입니다 $\sim$.
반쯤 열린 사각형을 추가하면 $I\times I$ 위쪽과 오른쪽은 닫힌 단위 사각형을 얻습니다. $Q$. 하지만 각 포인트$(x,1)$ 의 상단에 $Q$ 점에 해당 $(x,0)$ 하단에 $Q$. 따라서 몫 공간의 모델을 구성하면$\Bbb R^2/\sim$, 각 쌍의 포인트 $\{(x,1), (x,0)\}$함께 접착되어야합니다. 이렇게하면 튜브를 얻습니다. 튜브를 경계하는 원의 반대 지점 쌍은 쌍에 해당합니다.$\{(0,x), (1,x)\}$ 정사각형의 왼쪽과 오른쪽의 반대 지점 $Q$, 이는 동등하므로 함께 접착해야합니다. 이 2 단계 구조는 제안 된 솔루션에 명시된대로 우리에게 토러스를 제공합니다 .
Wikipedia 참조 :
토러스는 식별 아래에서 데카르트 평면의 몫으로도 설명 될 수 있습니다. $$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),$$ 또는 동등하게 반대쪽 모서리를 함께 붙여서 단위 제곱의 몫으로.