도체의 Maxwell-Boltzmann 분포?
기체의 운동 이론에서 Maxwell-Boltzmann 분포는 일반적으로 기체 분자의 속도 분포를 설명하는 데 사용됩니다. 내 질문은 그러한 분포가 전도 또는 반도체 고체 (저는 주로 반도체에 관심이 있음)에서 자유 전하의 속도를 모델링하는 데 사용할 수있는 정도입니다.
나는 가스 모델이 충돌이 적고 그 사이에 있다는 가정에 의존한다고 믿으며, 더 많은 충돌을 겪는 전하를 가진 고체에 대해서는 말할 수 없다고 생각합니다. 이것을 설명하는 또 다른 분포가 있습니까 아니면 단순히 질량이 격자에서 전하의 유효 질량으로 대체되는 것입니까?
답변
실온에서 전자의 운동 에너지는 약 2 차 ($\simeq$ 보통 페르미 에너지보다 100 배 적습니다. $\sim 10^4$ K. 대부분의 경우 페르미 가스가 https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_gas 좋은 근사치가 될 것입니다.
Maxwell-Boltzmann 분포는 전하 캐리어 (전자, 정공) 밀도가 낮은 반도체에 적합합니다. 유도 된 속도는 예를 들어 광 여기 된 전하 캐리어의 확산을 설명 할 수 있습니다.
이것은 Boltzmann 통계가 합리적인 근사치인지 여부에 따라 다릅니다. 기준은 전하 캐리어 간의 평균 거리가 de-Broglie 파장에 비해 커서 구별 가능한 입자로 취급 될 수 있다는 것입니다.
금속에서는 전자 밀도가 너무 높습니다.
다음과 같은 후속 근사 계획을 사용하여 고체의 전자적 특성을 처리 할 수 있습니다.
고전 기체 근사 전자를 상호 작용하지 않는 자유 입자의 고전 기체로 취급하고 Maxwell-Boltzmann 분포를 사용합니다. 이 근사는 완전히 실패합니다. 예를 들어 특정 열이 발생합니다.$\sim 100$실험 값보다 배 더 큽니다. 일부 고체는 금속이고 일부는 절연체이며 더 많은 불일치가 발생하는 이유를 설명 할 수 없습니다.
양자 가스 근사화 전자를 Maxwell-Boltzmann 대신 Fermi-Dirac 통계를 따르는 비 상호 작용 자유 페르미온의 양자 가스로 취급합니다. 이것으로 금속의 평형 특성에 대한 합리적인 결과를 얻지 만 여전히 절연체 또는 반도체를 설명하는 데 어려움이 있습니다. 운송 속성 (예 : 전기 및 열 전도도)의 동작에 여전히 약간의 불일치가 있습니다.
주기적 전위 근사에서 양자 가스 전자에 대한주기적인 전위 지형을 생성하는 이온으로 구성된 기본 결정의 효과를 고려하면 많은 개선이 이루어집니다. 여전히 당신은 전자들 사이의 상호 작용을 무시하고 결정을 정적 물체로 취급합니다. 이를 통해 밴드 이론을 공식화하고 절연체와 반도체의 존재를 설명 할 수 있습니다. 여전히 초전도와 일부 저온 동작을 설명 할 수 없습니다.
양자 상호 작용 가스 마침내 전자 사이의 쿨롱 반발을 고려하고 격자를 정적 물체가 아니라 동적 물체 (포논 이론)로 취급하면 많은 물리학을 회복하게됩니다. 예를 들어, 재료의 초전도 및 자기와 같은 많은 저온 현상을 설명 할 수 있습니다. 그러나 이것은 매우 복잡한 주제이며 여전히 현재 연구 관심사입니다.
이 모든 것에 대한 자세한 내용은 Ashcroft와 Mermin의 유명한 책을 참조하십시오.
Maxwell–Boltzmann 통계 는 종종 반도체에 유용합니다. 엄밀히 말하면 Fermi-Dirac 통계는 전자에 대한 유일한 정확한 통계입니다. 그러나 Fermi-Dirac 분포의 "꼬리"는 Boltzmann 분포처럼 보입니다. 일반적으로 범위 밖의 에너지 수준에 대해 Boltzmann 분포를 사용할 수 있습니다.$\left[E_f-3kT, E_f+3kT\right]$, 어디 $E_f$ "Fermi 수준"( "화학적 잠재력"이 더 나은 용어)입니다. $k$ 볼츠만 상수이고 $T$온도입니다. (자세한 내용은 Pierret의 반도체 장치 기본 사항 섹션 2.4.2를 참조하십시오.)
예를 들어 화학적 잠재력이 $3kT$전도대 최소값보다 낮 으면 전도대의 전자는 (좋은 근사치로) Maxwell-Boltzmann 통계를 따릅니다. 구멍에 대해서도 비슷한 작업을 할 수 있습니다.
이제 Maxwell-Boltzmann 분포 에 대해 질문했습니다 . 이는 Maxwell-Boltzmann 통계 ( 유도 ) 를 사용하여 바로 이어집니다 . 충돌 률이나 기타 사항에 대한 가정은 필요하지 않습니다. ** 따라서 사용할 수 있다고 생각합니다. 그러나 평형 상태에서 전자의 속도 분포를 아는 데 그다지 유용하지 않습니다.
위의 방법은 반도체에 화학적 전위가 떨어질 수있는 갭이 있기 때문에 작동합니다. 갭에는 전자가 없기 때문에 분포에 대해 걱정할 필요가 없습니다. 금속에는 간격이 없으므로 화학 전위에 가까운 에너지를 가진 전자를 무시할 수 없습니다. 그래서 제가 아는 한 Maxwell-Boltzmann 통계는 금속에 많이 사용되지 않습니다.
** 글쎄, 그건 사실이 아닙니다. 숨겨진 가정이 있습니다. 예를 들어, 입자 (전자)가 질량을 가지고 있다는 가정이 있습니다. 이것은 실제로 고체의 전자에게는 까다로운 일입니다 (이 답변의 범위를 벗어납니다). 엄밀히 말하면 전자가 이방성 유효 질량을 갖는 경우 Maxwell-Boltzmann 분포를 수정해야합니다. 그러나 대부분의 경우 전자가 등방성 유효 질량을 갖는 것으로 추정 할 수 있습니다. 그렇지 않더라도 ( 추가 정보 ). 즉, 질량이 잘 정의 된 입자 (속도 제곱에 비례하는 운동 에너지)가있는 경우 입자가 Maxwell-Boltzmann 통계를 따르면 속도도 Maxwell-Boltzmann 분포를 따릅니다.