엔트로피 추적

Question

추적 엔트로피 기능과 조합론 사이의 관계를 연구 중이며 다음 문제에 직면했습니다. 하자$\mathcal {D}$ 다음 미분 연산자 $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ 즉 $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$.

에 대한 $m\ge 0$ 정수, 경우 $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ 그때 $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ 그리고 (적어도 공식적으로) 함수에 대해 $g$ 우리는 쓸 수있다 $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ 어디 $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$

어떤 기능인지 알아 내려고 $g(x)$ 다음 조건을 충족 할 수 있습니다. $(0;1]$

나는) $g(x) \ge 0$, $g(0)=0$. (양성)

II) $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$. (어떤 종류의$\mathcal {D}$-오목 함)

III) $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ (이것은 연산자로 표현 된 표준 오목 함입니다. $\mathcal {D}$

IV) $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ 그런 $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$

V) $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ 그런 $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$

조건 I), II) 및 III) 만 부과하면이를 만족시키는 많은 기능이 있지만

1. 추가 IV) 다음 양식을 제외하고는 어떤 기능도 찾을 수 없습니다. $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ 실제 상수 (여기 $\varepsilon=1$). 참고$g$ V)를 만족하지 마십시오.

2. 추가 IV) 및 V) Boltzman-Gibbs-Shannon 엔트로피 추적을 제외한 다른 기능을 찾을 수 없습니다. $-x\cdot \log(x)$

Boltzman-Gibbs-Shannon 엔트로피 트레이스가 I) -V)를 만족하는 고유 한 함수라는 것을 "두려워"합니다.

어떤 관점에서든 미리 감사드립니다.

Answer 1

어떠한 것도 $c\in(0,\log2]$, 함수 $g$ 공식에 의해 정의 $g(x)=cx$ ...에 대한 $x\in[0,1]$ 조건 I) –V)를 충족하지만 Boltzman–Gibbs–Shannon 엔트로피 트레이스는 아닙니다.

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더 많은 기능이 있습니다 $g$볼츠만-깁스-샤넌 엔트로피 트레이스가 아닌 I) -V) 조건을 만족합니다. 특히$c_1\in(0,\log2)$, 음이 아닌 연속 함수 $H$ 의 위에 $[0,1]$, 그리고 충분히 작은 실제 $c_2\ge0$ 과 $c_3\ge0$, 함수 $g$ 공식에 의해 정의 $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ ...에 대한 $x\in[0,1]$ 조건 I) –V)를 충족하지만 Boltzmann–Gibbs–Shannon 엔트로피 추적은 아닙니다.