극좌표로 제한

Question

안녕하세요,이 제한에 대한 도움이 필요합니다. $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}$$ 나는 극좌표를 사용했고 $$ \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}= \frac{r^3\cdot(\cos φ)^4 \sin φ } {1+ (\cosφ)^2+\sin(2φ)} $$ 나는 이것을 어떻게 진행해야할지 몰랐다.

Answer 1

$(x,y) \mapsto (r cos\phi, r sin\phi)$. 그렇게 할 때$(x,y) \to (0,0)$ 그것은 말하는 것과 같습니다 $r\to 0$. 따라서 한계는 0이 될 것입니다.$r^3$ 분자에서.

Answer 2

대안으로 극좌표없이 $(x+y)^2 \ge 0$, 우리는

$$x=0 \,(y\neq 0)\implies \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}=0$$

$$x\neq 0 \implies \left|\frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}\right|\le\left|\frac{x^4y}{x^2}\right| =x^2|y| \to 0$$

극좌표를 사용하여 다시 압축 정리로 결론을 내리려면

$$f(\theta)=\frac{(\cos φ)^4 \sin φ } { (\cosφ)^2+2\sin φ\cos φ +1}$$

동일한 이전 방법으로 이어지는 경계가 있습니다.