길이 찾기 $x$.

Question

허락하다 $ABC$ 직각 삼각형 $B$. 각도의 각도 이등분$A$ 과 $C$ 에서 반대쪽을 교차하여 그려집니다. $D$ 과 $E$각기. 을 고려하면$CD=12$ 과 $AE=8$ 길이 찾기 $AC$ (로 주어졌다 $x$질문에서). 또한 인서 클이 측면에 접하는 지점을$AB$ 과 $BC$ 있다 $F$ 과 $G$각기. (질문 끝에 주어진 다이어그램)

두 가지 접근 방식을 시도했습니다.

접근법 1 : 저는 이것을 위해 삼각법을 사용하려고했습니다. 허락하다$\angle BAO= \alpha$. 그리고하자$r$ 삼각형의 내경의 크기 $ABC$. 또한 보자$EF=y$ 과 $DG=z$. 그런 다음$\triangle AGO$ 과 $\triangle OEG$, $z=r \tan \alpha$ 과 $z=\frac{r}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)} - 12 $. 둘 다 결합하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.

$$12=r \left( \frac{1}{\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha \right)}- \tan \alpha \right) $$

비슷하게 $\triangle AGO$ 과 $\triangle OFD$ :

$$8= r \left( \dfrac{1}{\tan \alpha} - \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha\right) \right)$$

이 두 방정식을 나누고 $t=\tan \alpha$, 다음 식을 얻습니다. $t^3+4t^2-2t+2=0$ 그것은 매우 끔찍한 해결책을 가지고 있기 때문에 그것을 떠났습니다.

편집 : 나는 완전한 바보이고 계산을 잘못했습니다.$(2t-1)(t+3)=0$ 그 직후에 $x=24$.

접근 방식 2 (불완전) : 그래서 이번에는 삼각법 대신 기본 기법을 사용해 보았습니다. 이후$\triangle AFO \sim \triangle OGD$, 우리는 $$\frac{r}{y}=\frac{z+12}{r} \implies r^2 = y(z+12)$$

비슷하게 $r^2=z(8+y)$. 이 두 가지를 결합하면$3y=2z$. 의 가치$x=20+y+z$. 이제 내가 찾을 수있을 때만$y+z$질문이 끝날 것입니다. 누구든지 힌트를 주거나 더 나은 솔루션을 제공 할 수 있습니까?

원래 질문의 다이어그램 :

레이블이있는 다이어그램 :

Answer 1

허락하다 $BC=a$, $AB=c$ 과 $a=tc$.

따라서 $\frac{cx}{x+a}=8$ 과 $\frac{ax}{x+c}=12,$ 우리는 다음을 얻습니다. $$\frac{a(x+a)}{c(x+c)}=\frac{3}{2}$$ 또는 $$\sqrt{a^2+c^2}(2a-3c)=3c^2-2a^2$$ 또는 $$\sqrt{t^2+1}(2t-3)=3-2t^2,$$ 주는 $$\sqrt{1.5}<t<1.5$$ 이제 제곱 후 다음을 얻습니다. $$t(4t-3)(3t-4)=0,$$ 주는 $$t=\frac{4}{3},$$ $$a=\frac{4}{5}x$$ 과 $$c=\frac{3}{5}x,$$ 주는 $x=24.$