교차점 $n$ 포물선

Question

이것은 오늘 제 친구의 마음에 떠오른 질문입니다.

있습니다 $n$평면의 포물선. 가능한 최대 및 최소 교차점은 무엇입니까? 우리는 모든 포물선이 별개라고 가정해야합니다. 또한 모든 포물선은 크기가 동일합니다. 즉, latus 직장의 길이가 동일합니다.

최소 교차점 수는 $n$. 반경이 큰 원에 모든 포물선의 꼭지점을 배열하여이를 달성 할 수 있으며 두 개의 인접한 포물선이 교차하는 것을 볼 수 있습니다. 그러나이 방법은 실패합니다.$n = 1, 2, 3, 4$ 우리가 가질 수 있기 때문에 $4$ 교차점이없는 포물선.

이 문제에 어떻게 접근해야합니까?

편집하다:

의견에서 MarkBennet 의 도움 으로 교차점을 쉽게 만들 수 있음을 깨달았습니다.$0$. 이것은 단순히 이전 포물선의 축을 따라 이동 된 다음 포물선을 놓음으로써 수행 될 수 있습니다.

Answer 1

$\color{brown}{\textbf{Used parabolas.}}$

데카르트 좌표의 포물선 방정식이 $$y=x^2+R,$$ 그런 다음 극좌표에서 $\;x=r\cos t,y=r\sin t\;$ 그것은 형태를 취합니다 $$r^2\cos^2 t - r\sin t +R =0,$$ 판별 자와 함께 $\;D=\sin^2 t - 4R\cos^2 t = 1-(4R+1)\cos^2 t,\;$ 긍정적이어야합니다.

따라서 고려 된 포물선은 극각을 가진 무제한 원의 섹터에 새길 수 있습니다 $$t\in\frac\pi2\pm\arcsin\frac{1}{\sqrt{4R+1}} \subset \frac\pi2\pm \arctan\frac1{\sqrt{4R}},$$

여기서 섹터의 중심 각도는 $$\Delta t(R) = 2\arctan\frac1{2\sqrt{R}}\;\underset{R\to \infty}{-\!-\!\!\!\to}\; 0,$$

무한히 작게 만들 수 있습니다.

이 기능은 WA 플롯 으로 설명 할 수 있습니다 .

$\color{brown}{\textbf{Placing.}}$

가능한 솔루션의 배치는 위의 그림에 나와 있으며 각 색 삼각형은 무제한 섹터의 시작 (빈) 세그먼트에 해당합니다.

왼쪽 그림은 교차점이없는 포물선 배치를 보여줍니다 .

오른쪽 그림은 각 포물선 쌍에 4 개의 교차점이 있는 포물선 배치를 보여줍니다 .

각 포물선은 임의의 작은 중심각을 가진 무제한 원의 섹터에 새길 수 있으므로

• 쌍별 교차의 최소 수 $\;n\;$ 포물선은 $\;\color{brown}{\textbf{zero}},$ 과
• 쌍별 교차의 가장 높은 수 $\;n\;$ 포물선은 $\;\color{brown}{\mathbf{2n(n-1)}}.$

특히 $\;n=3, R=25\;$ 우리는 $2\cdot3\cdot(3-1)= 12$교차로 ( WA 플롯 참조 ).