해결 규범의 한계

Question

허락하다 $H$복잡하고 무한한 차원의 분리 가능한 힐베르트 공간이어야합니다. 0이 아닌 연산자 두 개 수정$A,B \in B(H)$ 그런 $B$ 스칼라 배수가 아닙니다. $A$. 다음은 잘 알려져 있습니다.

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

이것은 다음에서 쉽게 따릅니다.

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

이제 연산자를 고려하십시오 $A+ cB$ 어디 $c$ 양의 실수이고 일부 복소수를 수정합니다. $z$. 우리 모두를 위해$\epsilon >0$, 존재 $M>0$ 다음과 같이 :

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

직관적 으로$c \rightarrow +\infty$, 우리는해야:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

때문에 $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ 과 $B$고쳐 졌어. 그러나 나는 이런 종류의 결과에 대한 참조를 알지 못합니다. 누구든지 이것에 대한 참조 나 증거가 있습니까?

Answer 1

Michael이 이미 관찰했듯이 : 다음과 같은 경우 반례를 구성하는 것은 간단합니다. $B$ 사소하지 않은 커널이 있습니다. $N(B)$ 과 $A$ 지도 $N(B)$ 그 자체로, 이후 $N(B)$ ~의 크기 $c$ 아무 역할도하지 않습니다.

하지만 $B$ 동형, 심지어 정체성 $B=I$, 추측은 거짓입니다. $z-A-cB=(z-c)-A$. 역의 규범의 최대 값 (전체$z$ 해당 해석 세트에서)는 분명히 독립적입니다. $c$.

어쨌든 $B$동형이며, 몇 가지 추정이 있습니다.

보류 $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, 질문에 언급 된 해결 추정치를 사용하여 얻을 수 있습니다. $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ 다음과 같은 경우 추정치를 제공합니다 $|c|$ 에 비해 크다 $|z|\|B^{-1}\|$.

만약 $|z|$ 에 비해 크다 $|c|\|B\|$, 질문의 견적을 사용할 수 있습니다.

두 경우 모두 해당되지 않는 경우 위에서 언급 한대로 좋은 추정치가 필요하지 않습니다 ($B=I$).