호모 토피 구축

Question

허락하다 $X,Y$ 위상 공간이고 $f,g:X \rightarrow Y$연속적인지도입니다. 가정$f,g$ 동형에 의해 동종 $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. 허락하다$\gamma$ 경로가되다 $Y$ 끝점 포함 $y_0=f(x_0)$ 과 $z_0=g(x_0)$ 정의 $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
허락하다$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ 순환하다 $X$ 와 $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
나는 그 길을 보여주고 싶다.$f \circ \alpha$ 과 $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ 호모 토피를 구성하여 경로 동질화 $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
알아$\gamma$ 기준점 동형의 변화를 유도합니다 $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ 주어진 $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ 모든 $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
이 호모 토피를 만드는 방법을 모르겠어요$G$ 구체적으로 말하지만 다음을 충족해야한다는 것을 알고 있습니다. $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

이론 : Let $h:X \to Y$연속적인 기능이어야합니다. 만약$α,β$ 동종 경로입니다 $X$ 그때 $hoα$ 과 $hoβ$ 동종이다 $Y$.
연속적인지도가 존재한다고$H:X×I \to Y$ 그런 $H(x,0)=f(x)$ 과 $H(x,1)=g(x)$.
따라서 그 경로를 보여주기 위해$foα$ 과 $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ 우리가 경로를 찾아야하는 동 질적 $X×I$ H 아래의 이미지가 $foα$ 과 $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
허락하다$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. 그 후$p$ 과 $c \ast q \ast \hat c$우리의 필수 경로입니다.
이제$G:I×I \to X×I$ 다음과 같이 정의되다 $G(s,t)=(α(s),t)$. 이제 우리가 경로를 찾을 수 있다면$I×I$ G 아래의 이미지가 $p$ 과 $c \ast q \ast \hat c$ 그 의미 때문에 우리는 끝났습니다 $p$ 과 $c \ast q \ast \hat c$동종입니다.
허락하다$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ 과 $d(s)=(s,0)$.
볼 수 있습니다$d$ 과 $a \ast b \ast \hat c$필수 경로입니다. 이제이 두 경로가$d$ 과 $a \ast b \ast \hat c$ 동일한 초기 및 종점을 가지며 $I×I$단순히 연결되어 있습니다. 암시$p$ 과 $c \ast q \ast \hat c$ 동종을 의미합니다 $foα$ 과 $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ 동종입니다.