혼란스러워 $\mathcal{L}^2$-마팅 게일
물리학 배경에서 왔기 때문에 저는 마틴 게일을 처음 접했고 이제는 다음과 관련된 몇 가지 개념을 파악하려고합니다. $\mathcal{L}^2$-마틴 게일. 강의 과정에서받은 연습은 다음과 같습니다.
허락하다 $\{M_n\}_{n\geq0}$ 마틴이되다 $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$, 및 $\{H_n\}_{n\geq0}$ 일련의 $\mathcal{F}_n$-측정 가능한 경계 랜덤 변수, 여기서 $\mathcal{F}_n$ 자연적인 여과입니다 $M_n$. 밝히다$I_n:=\sum_{k=1}^nH_{k-1}(M_k-M_{k-1})$.
a) 증명 $\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)=\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]$.
b) 증명 $\{I_n\}_{n\geq1}$ 마틴 게일이다 $\mathcal{L}^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$.
c) 표시 $E(I_n^2)=\sum_{k=1}^n\mathbb{E}[H_{k-1}^2(M_k-M_{k-1})^2]$.
내 이해는 증분이 직교한다는 것입니다. $m\leq n$ 과 $X\in\mathcal{F}_m$ 와 $\mathbb{E}(X)<\infty$, 다음 $\mathbb{E}[X(M_n-M_m)]=0$. 따라서 a)의 경우 RHS를 확장하면 $\mathbb{E}[(M_n-M_{n-1})^2]=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2+2M_{n-1}M_n])=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)+2\mathbb{E}(M_{n-1}M_n)=\mathbb{E}(M_n^2-M_{n-1}^2)$,하지만 이것은 $M_0=0$같이? (부분 c에 직교성을 적용 할 때도 동일한 쿼리가 있습니다.)
파트 b)에 관해서는 내가 가지고있는 정보를 어떻게 적용해야할지 모르겠습니다. $\{M_n\}$ 과 $\{H_n\}$ (정사각형 통합 가능, 측정 가능, $H$제한됨). 둘 다에서 경계를 증명하는 방법을 모르겠습니다.$\mathcal{L}^1$ 과 $\mathcal{L}^2$, 누군가 나를 올바른 방향으로 가리킬 수 있습니까? 나는 경계를 사용해야한다는 것을 안다.$H$ 하지만 어디에 있는지 정확히 알 수 없습니다. 마틴 게일 속성을 증명하기 위해 저는 "알려진 것을 취함"이라는 논증을 사용했습니다. $H_n$ 적응하기 때문에 $\mathcal{F}_n$,하지만이 시점에서 내가 마틴 게일에 대해 배운 무작위적인 것들에 덤비는 것일 수 있다고 생각합니다. 누군가가 이것에 대한 영감을 줄 수 있습니까?
마지막 질문은 무엇이 그렇게 특별한 지입니다. $\mathcal{L}^2$-마틴 게일, 또는 일반적으로 $\mathcal{L}^p$마틴 게일? (내가 아는 건$X_n\overset{\mathcal{L}^p}{\to}X$ 만약 $\mathbb{E}(|X|^p)<\infty$ ...에 대한 $p>1$ (그리고 $p=1$ 우리는 그것들이 UI가되어야합니다), 그러나 이것 이상으로는 많이 보지 못했습니다.) Brownian Motion의 2 차 변형과 관련이 있습니까?
답변
허락하다 $\{M_n\}$ 여과와 관련하여 정사각형 적분 마팅 게일 $(\mathcal F_n)$, 허락하다 $(H_n)$ 있다 $(F_n)$ 적응 된 프로세스 (즉 $H_n$ 이다 $\mathcal F_n$ 측정 가능)
허락하다 $I_n = \sum_{k=1}^{n} H_{k-1}(M_k - M_{k-1})$
우리는 보여주고 싶다 $3$ 소지품:
a) 우리가 얻는 사각형 확장 $(M_n - M_{n-1})^2 = M_n^2 + M_{n-1}^2- 2M_nM_{n-1}$, 그래서 :
$$ \mathbb E[(M_n - M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] + \mathbb E[M_{n-1}^2] - 2\mathbb E[M_n M_{n-1}]$$
그러나 martingale 속성에 의해 $\mathbb E[M_nM_{n-1}] = \mathbb E[\mathbb E[M_n M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = \mathbb E[M_{n-1}\mathbb E[M_n \mathcal F_{n-1}]] = \mathbb E[M_{n-1}^2]$, 그 후 $$ \mathbb E [(M_n-M_{n-1})^2] = \mathbb E[M_n^2] - \mathbb E[M_{n-1}^2]$$
b) 우리는 그것이 martingale이라는 것을 보여줄 필요가 있습니다. $L_2$, 세 가지를 충족해야합니다.
$I_n$ 이다 $\mathcal F_n$측정 가능. 사실, 모든$H_k$ 과 $M_k$ ...에 대한 $k \in \{1,...,n\}$ 아르 $\mathcal F_n$ 측정 가능하므로 $I_n$ 제품 / 합계는 $\mathcal F_n$ 측정 가능.
$I_n$제곱 적분입니다. 매번$H_k$ 제한된 랜덤 변수이면 $M$ 그런 $|H_1|,...,|H_n| < M$ 거의 확실하므로 $$ \mathbb E[I_n^2] \le \mathbb E[ (\sum_{k=1}^n |H_{k-1}||M_k - M_{k-1}|)^2] \le M^2 \mathbb E[(\sum_{k=1}^n |M_k - M_{k-1}|)^2].$$ 사각형을 확장하면 무한한 형태의 용어가 생깁니다. $(M_k - M_{k-1})^2$ 또는 $(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})$ 그래서 사실 증명하는 것으로 충분할 것입니다 $M_jM_k$ 모든 것을 통합 할 수 있습니다. $j,k \in \{1,...,n\}$ (그러므로 $I_n^2$이러한 용어의 유한 한 합에 의해 제한되므로 적분 할 수 있습니다.) 이 아니라면$j \le k$ 우리는 얻는다 $\mathbb E[M_kM_j] = \mathbb E[M_j \mathbb E[M_k|\mathcal F_j]] = \mathbb E[M_j^2] < \infty$, 이후 $(M_n)$ 정사각형 적분이었습니다.
조건부 속성. 아무거나$n \in \mathbb N$. 우리는 :$$ \mathbb E[I_n|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^n \mathbb E[H_{k-1}(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_{n-1}] = \sum_{k=1}^{n-1} H_k(M_k - M_{k-1}) + \mathbb E[H_{n-1}(M_n - M_{n-1}) | \mathcal F_n] $$
첫 번째 합계는 $I_{n-1}$ 마지막 학기는 $0$, 우리가 취할 수있는 측정 가능성으로 인해 $H_{n-1}$ 조건부 기대에서 벗어나 마틴 게일 속성을 통해 $\mathbb E[M_n - M_{n-1} | \mathcal F_{n-1}] = 0$
c) 글쓰기 $I_n^2$ b)에서와 유사하게, 우리는 그것을 증명하기에 충분하다는 것을 알 수 있습니다. $j < k$ 우리는 $\mathbb E[(M_k - M_{k-1})(M_j - M_{j-1})] = 0$(그러면 "대각선"용어 만 "생존"하기 때문입니다). 그리고 그것을 보려면, 그냥 조건$\mathcal F_{j}$ 측정 가능하게 $(M_j-M_{j-1})$ 내부 기대에서 벗어나 내부에서 martingale 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
$$ \mathbb E[(M_k-M_{k-1})(M_j-M_{j-1})] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\mathbb E[(M_k-M_{k-1})|\mathcal F_j]] = \mathbb E[(M_j-M_{j-1})\cdot 0] = 0$$