이 기술이 유효하지 않은 이유가 있습니까?

Question

뭐가 $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? 이 한계를 평가하는 간단한 방법은$0$ ...에 대한 $x$ 얻을 분자에서

$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $

이후 $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ 같은 양에서 뺀 한 양은 0이기 때문입니다.이 기법은 $\cos(0)$ 알려져 있습니다.

Answer 1

아니, 당신은 그것을 주장 할 수 없습니다 $x=0$ 분자에서 $x\ne0$ 분모에서!

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귀하의 방법을 사용하여이 한계를 평가하는 간단한 방법은 $0$ ...에 대한 $x$ 분모로 얻을 $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ 분자가 0이 아니기 때문에.

Answer 2

반례 :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ 과연 $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, 그래서 $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$

Answer 3

@ChristinaDaniel 좋아요, 여기에 카운터 예가 있습니다. $\frac{\sin 2x}{x}$ 그리고하자 $x$ 0으로 이동 :이 제한에 대한 답은 $2$. 이제 표현을 고려하십시오$\frac{\sin 2x-0}{x}$ ...에 대한 $x$0이됩니다. 이 한계에 대한 답은 여전히$2$. 그러나$\sin0=0$ 이제 우리는 표현을 고려할 수 있습니다 $\frac{\sin 2x-x}{x}$, 다시 $x$0이됩니다. 하지만 이제이 한계는$1$. 따라서 "부분"대체를 수행하면 대답이 변경됩니다. 즉, 대체 할 때$x$, 당신은 모든 $x$ 표현에서.

Answer 4

허락하다 $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. 우리는 찾고 싶습니다$\lim_{x\to e}f(x)$.

제안 된 방법을 사용하면 잘못된 답변이 반환됩니다.

Answer 5

유효하지 않습니다.

표현식의 한 부분에서 변수를 상수로 바꿀 수는 없지만 다른 부분에서는 변수로 남겨 둘 수 없습니다.

변수를 상수로 대체하여 한계를 추정하려면 모든 곳에서 대체해야합니다. 그렇게하면$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ 그것은 우리에게 전혀 도움이되지 않습니다.

우리는 가정해야합니다 $x \ne 0$ 그리고 우리가 그것을 교체한다면 우리는 그것을 $x = h\ne 0$ 그리고 우리는 $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$그리고 우리 는 대체 할 수 없습니다$h$ 와 $0$ 상단이 아니라 하단에 $h$ ISN "T $0$. 그리고 무엇이든$x$ 분자에서 $x$ 분모에서 같은 것이어야합니다.

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오류의 이유는 상단에 약간의 푸징이 $x\approx 0$ 방법 $\cos x \approx \cos 0$많은 영향을주지 않습니다. 그러나 그것은 잘못된 것입니다. 바닥 의 퍼징은 큰 차이를 만듭니다 .$\frac 1x \not \approx \frac 10$. 그건 안돼요.

아니오 아니오를 완료하십시오.

그리고 완전히 무효입니다.