일련의 유리수

Question

Gradshteyn I, Ryzhik I Table of Integrals, Series And Products (7Ed, Elsevier, 2007) (Isbn 0123736374) (1220S) 다음 시리즈를 읽었습니다. $$-\frac{x}{x-1}=\sum _{k=0}^{\infty } -\frac{x^{2^k}}{x^{2^{k+1}}-1}=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{2^k x^{2^k-1}}{x^{2^k-1}+1}$$ 세리 $$\frac{2^k x^{2^k}}{x^{2^k}+1}$$ Van Wijngaarden의 트릭 포지티브 시리즈를 대체 시리즈로 사용하면 쉽게 계산할 수 있지만 두 번째 시리즈에서 올 때 ??

Answer 1

다음이 | x | <1에 유효 함을 보여줍니다. \begin{align*} \frac{x}{1-x}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^kx^{2^{k}}}{1+x^{2^{k}}}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}\tag{2}\\ \end{align*}

우리가 가지고 있기 때문에 \begin{align*} \frac{2^{k+1}x^{2^{k+1}}}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{2^kx^{2^k}}{1-x^{2^k}}-\frac{2^kx^{2^k}}{1+x^{2^k}} \end{align*}

우리가 신축하여 구 {정렬 *}를 시작 \ \ 색 {블루} {\ sum_ {K = 0} ^ \ infty} \ 색 {블루} {\ FRAC {2 ^ KX ^ {2 ^ (K)}} {1+ x ^ {2 ^ k}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1 + x ^ {2 ^ {k}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} { 1-x ^ {2 ^ {k}}}-\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ {k + 1} x ^ {2 ^ {k + 1}}} {1-x ^ { 2 ^ {k + 1}}} \ 오른쪽) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k} }} {1-x ^ {2 ^ {k}}}-\ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1-x ^ { 2 ^ {k}}} \ 오른쪽) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ frac {x} {1-x}-\ frac {2 ^ {N + 1} x ^ { 2 ^ {N + 1}}} {1-x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ 오른쪽) \ tag {$2^{N+1}x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} 및 클레임 (1)이 이어집니다.

우리가 가지고 있기 때문에 \begin{align*} \frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}&=\frac{\left(1+x^{2^{k}}\right)-1}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{1-x^{2^{k}}}-\frac{1}{1-x^{2^{k+1}}} \end{align*}

\ begin {align *} \ color {blue} {\ sum_ {k = 0} ^ \ infty} & \ color {blue} {\ frac {x ^ {2 ^ k}} {1 + x 를 텔레 스코핑하여 다시 얻습니다. ^ {2 ^ {k + 1}}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {x ^ {2 ^ {k}}} {1+ x ^ {2 ^ {k + 1}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}}-\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k + 1}}} \ right) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty } \ left (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}}-\ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} \ 오른쪽) \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {1-x}-\ frac {1} {1 -x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ 오른쪽) \ tag {$x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & = \ frac {1} {1-x} -1 \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} 및 클레임 (2)는 다음과 같습니다.

참고 : IS Gradshteyn 및 IM Ryzhik 공식 1.121 (1.)에 의해 적분, 시리즈 및 제품 표의 버전 07에서 찾을 수 있습니다.\begin{align*} \frac{x}{1-x}=\sum_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}x^{2^{k-1}}}{1+x^{2^{k-1}}}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^{k}}}\qquad\qquad[x^2<1] \end{align*}