IMO 1998-조합론

Question

이 IMO Combinatorics 문제를 시도하고 있습니다. $1998$ 다음과 같은 P2 :

대회에는 $m$ 참가자 및 $n$ 판사, 어디서 $n \geq 3$홀수 정수입니다. 각 심사 위원은 각 참가자를“합격”또는“불합격”으로 평가합니다. 가정$k$ 두 명의 심사 위원의 평가가 최대 일치하는 숫자입니다. $k$참가자. 증명$$\frac{k}{m}\geq \frac{n-1}{2n}$$

시작하는 방법에 대해 완전히 의아해합니다. 힌트를 주실 수 있습니까?

Answer 1

조합 수 고려 $(\{j_1, j_2\},c)$, 어디 $\{j_1, j_2\}$ 한 쌍의 별개의 심사 위원이며 $c$동의하는 참가자입니다. 다음 두 가지 방법으로이 수량에 도달 할 수 있습니다.

1. 참가자 수, 이에 동의하는 심사 위원 쌍 수를 합산합니다.

2. 심사 위원 쌍, 그들이 동의하는 참가자 수를 합산합니다.

그런 다음 1에서 합산되는 양은 다음과 관련된 표현식으로 아래에 제한 될 수 있습니다. $n$ (생각해 내다 $n$ 홀수), 2에서 합산되는 수량은 위에 의해 제한 될 수 있습니다. $k$. 결합하면 원하는 부등식이 생성됩니다.