이토의 기본형 2 차 용어 표기법.
여기에 표기법 질문이 있습니다.
이토의 기본형의 가장 간단한 형태로
$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$
나는 계산하는 방법을 알고 $ d\langle Y \rangle_t $ 용어이지만 항상 묻고 싶습니다.
- 용어의 이름은 무엇이며 정확히 무엇을 의미합니까?
- 왜 그렇게 특별한 방식으로 쓰여졌지만 $ Cov() $, 또는 $ Var() $?
개념적으로는 프로세스의 분산이지만 표기법을 이해하지 못합니다. 왜 아래 첨자가$ t $ 외부에 넣어지고 $ \langle \cdot \rangle $.
아래와 같이 쓸 수 있나요?
$ \langle dY_t \rangle $
$ d \langle Y_t \rangle $
두 개의 프로세스가 관련되어 있다면 패턴에 따라 다음과 같이 작성해야한다고 생각합니다. $ d\langle X, Y \rangle_t $,하지만 아래와 같이 쓸 수 있습니까?
$ \langle dX_t, dY_t \rangle $
$ d\langle X_t, Y_t \rangle $
또한 적분 형태로 쓸 수 있습니까? 어디에 넣어야$ t $ 내가 적분 형태로 쓰고 있다면?
고마워
답변
장자 / 속기 표기 :
저는 개인적으로 항상 속기 표기법이 혼란스럽고 오늘날까지 가능하면 피하려고 노력합니다. 아래에서 왜 그것이 혼란스럽고 흔히 저지르는 실수로 이어지는 지 설명하려고 노력할 것입니다.
"장기"표기법에서 Ito 프로세스 $X_t$ 다음과 같이 정의됩니다.
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$
위, $a(X_t,t)$ 과 $b(X_t,t)$ 몇 가지 정사각형 통합 프로세스입니다.
그것은 있음을 주목할 필요가 이차 변화 의$X_t$ 그러면 다음과 같습니다.
$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$
(이것은 확률 과정에 대한 2 차 변이의 정의에서 따온 것입니다.이 게시물의 끝에있는 편집을 참조하십시오)
이제 약식 표기법으로 방정식을 작성할 수 있습니다. $X_t$ 위와 같이 :
$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$
첫째, 속기 표기가 실제로 무엇을 의미합니까? 우리는 정의 할 수 있습니다$\delta X_t$ 다음과 같이 :
$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$
그리고 $dX_t$ 다음과 같은 라인을 따라 (직관적으로, 엄격하지 않고) 이해할 수 있습니다.
$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$
그러나 나는 그것이 진짜 인 것에 대한 속기 표기법을 이해하는 것이 가장 좋다고 생각합니다. 즉, 확률 적분에 대한 속기입니다.
이토의 정리 :
이제 Ito의 Lemma는 이러한 Ito 프로세스에 대해 $X_t$, 두 번 미분 할 수있는 함수 $F()$ 의 $X_t$ 과 $t$ 다음 방정식을 따릅니다.
$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$
위에서 " 2 차 변형 "용어를 찾을 수 있습니다.
$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$
( "짧은"표기법으로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, 즉 귀하의 것과 정확히 동일 $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, 난 그냥 사용 $F$ 대신에 $f$ 과 $X_t$ 대신에 $Y_t$: 다시 말하지만, Ito 프로세스를 수년간 사용해 본 후에도 속기는 긴 표기법보다 훨씬 덜 직관적입니다.)
약식 표기법을 사용하지 않는 이유
이제 속기 표기법이 매우 혼란 스러울 수 있다고 생각하는 이유에 대한 예를 보여 드리고자합니다. Ornstein-Uhlenbeck 과정 (아래, $\mu$, $\theta$ 과 $\sigma$ 상수 매개 변수) :
$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$
우리는 $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ 과 $b(X_t,t) = \sigma$.
위의 문제를 해결하는 방법은 Ito의 기본형을 적용하는 것입니다. $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, 다음을 제공합니다.
$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$
이제 솔루션을 얻으려면 $X_t$, 마지막 단계는 단순히 양쪽을 다음과 같이 나누는 것입니다. $e^{\theta t}$, 분리하려면 $X_t$ 다음을 제공하는 LHS 용어 :
$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$
나는 많은 사람들이 Ornstein-Uhlenbeck을 "속기"표기법을 사용하여 모든 것을 쓰려고하는 것을 보았습니다. 그리고 마지막 단계에서 우리가 $e^{\theta t}$, 저는 사람들이 일반적으로 다음과 같이 작성되는 용어를 "취소"하는 것을 보았습니다. $e^{\theta h}$ 적분 내부 : 약식 표기법은 적분 더미 변수 (예 : "$h$") 및 이미"에 통합 된 항목$t$".
결론적으로, SDE에 짧은 표기법을 사용하는 것은 권장하지 않습니다. 만약 당신이 그것을 발견한다면, 나는 그것이 정말로 의미하는 바 (즉, "장기적"표기법)로 "번역하는 것"을 장려 할 것입니다 : 적어도 나에게는 , 이해하기 훨씬 쉬워졌습니다.
2 차 변형에 대한 편집 : 확률 프로세스에 대한 2 차 변형은 메시 크기가 점점 더 미세 해짐에 따라 확률의 한계로 정의되며, 특히 브라운 운동의 경우 다음과 같이 작성할 수 있습니다.$\forall \epsilon > 0$:
$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$
즉, 2 차 변동이 다음으로 수렴 할 확률 $t$메쉬 크기가 무한히 정교 해짐에 따라 1이됩니다 (증명은 다소 기술적입니다. 예를 들어 여기 에서 실제로 수렴을 거의 확실하게 증명하는 것처럼 보입니다 (확률에서 수렴을 의미 함)).
그런 다음 간단히 작성할 수 있습니다.
$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ 따라서 잘 알려진 공식을 얻습니다.
$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$