지수 객체를 갖는 범주의 두 정의 간의 동등성

Question

제품이있는 카테고리는 모든 객체에 대해 지수 가 있다고 합니다.$x, y$ 물건이있다 $y^x$ 화살 장착 $e\colon x\times y^x\to y$ 모든 개체에 대해 $z$ 그리고 모든 화살 $f\colon x\times z\to y$ 독특한 화살이있다 $\bar{f}\colon z\to y^x$ 만족스러운 $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.

범주에 지수가 있으면 $f\mapsto \bar{f}$ 사이의 자연스러운 동형 $hom(x\times z, y)$ 과 $hom(z, y^x)$ 역으로 $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. 따라서 펑터$x\times (-)$ 인접하여 남아 있습니다 $(-)^x$.

나는 그 반대에 대해 궁금합니다. $C$ 다음과 같은 제품이 포함 된 카테고리입니다. $x\times (-)$ 올바른 인접이 있습니다. $C$ 지수가 있습니까?

특히, 우리가 가정하면 $x\times (-)$ 올바른 인접이 있습니다. 어떻게 장비합니까? $y^x$ 화살표로 $e\colon x\times y^x\to y$. 또한 방정식을 어떻게 추론합니까?$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ 정확하게 유지합니까?

어떻게 든 오른쪽 인접의 존재 $x\times (-)$ 위에 주어진 지수를 갖는 범주의 보편적 인 속성 정의보다 더 약하고 추상적 인 느낌을줍니다.

Answer 1

객체를 선택하려면 AC가 필요하다고 생각합니다. $y^x$ 각각 $x$ 과 $y$.

이것을 받아들이면 화살을 얻습니다. $e$부속물에있는 단위 / 공동 단위의 형식주의에서. 만약$F$ 의 오른쪽 인접입니다 $x\times(-)$ 자연스럽게 $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ 취하다 $a=Fy$. 그때$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ 왼쪽의 정체성은 동형에 매핑됩니다. $e:x\times Fy\to y$오른쪽으로. 우리는$Fy$ 같이 $y^x$, 이 $e:x\times y^x\to y$ 지수지도입니다.