지수 지수의 적분 계산

Question

다음 식을 통합하려고했습니다. $$\int_{0}^{\infty} (1- \exp(-a e^{-bx})) dx$$먼저 대체 방법을 사용하여이 적분을 풀기 시작했습니다. 와$t = e^{-bx}$, 적분은 다음과 같습니다. $$\frac{1}{b} \int_{0}^{1} \frac{1}{t}(1-e^{-at})dt$$내 마음에 떠오르는 유일한 것은 부분 별 통합을 사용하여이 문제를 해결하는 것이지만 결국 통합 방식을 너무 복잡하게 만듭니다. 예를 들어,$u = \frac{1}{t}$ 과 $dv = 1 - e^{-at}$. 이 적분을 해결하는 더 쉬운 방법이 있습니까?

Answer 1

우리는 적분으로 시작합니다 $I$ 주어진

$$I=\int_0^1 \frac{1-e^{-at}}{t}\,dt\tag1$$

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대체 시행 $t\mapsto t/a$ 에 $(1)$ 계시하다

$$I=\int_0^a \frac{1-e^{-t}}{t}\,dt \tag2$$

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부분적으로 통합 $(2)$ 와 $u=1-e^{-t}$ 과 $v=\log(t)$, 우리는

$$\begin{align} I&=(1-e^{-a})\log(a)-\int_0^a \log(t)e^{-t}\,dt\\\\ &=(1-e^{-a})\log(a)+\gamma+\int_a^\infty \log(t)e^{-t}\,dt\tag3 \end{align}$$

어디 $\gamma =-\int_0^\infty \log(t) e^{-t}\,dt$ Euler-Mascheroni 상수입니다.

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부품 별 후속 통합 $(3)$ 와 $u=\log(t)$ 과 $v=-e^{-t}$ 수확량

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma+\Gamma(0,a)}\tag 4$$

어디 $\Gamma(0,a)=\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$ 상위 불완전 감마 함수입니다.

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우리는 대안으로 표현할 수 있습니다. $(4)$ 같이

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{I=\log(a)+\gamma-\text{Ei}(-a)}$$

지수 적분 측면에서 $\text{Ei}(-a)=-\int_a^\infty \frac{e^{-t}}{t}\,dt$.

Answer 2

적분 $\dfrac {e^{a x} } x$ 쉽게 운동하지 않습니다.

다음은 ProofWiki에서 수행되는 방법입니다.

https://proofwiki.org/wiki/Primitive_of_Exponential_of_a_x_over_x

$$\int \frac {e^{a x} \, \mathrm d x} x = \ln |x| + \sum_{k \mathop \ge 1} \frac {(a x)^k} {k \times k!} + C$$

이렇게하면 대체 된 적분에 대한 답을 실제로 얻을 수 있으며, 거기에서 답을 얻는 것이 간단해야합니다. 그다지 예쁘지 않다는 것만.