조합 합계

Question

• 합계를 평가할 아이디어 $$ \sum_{j=m}^{k}\frac{\binom{m}{2m - j\,\,}}{\binom{k}{j}} \quad\mbox{with}\quad m \leq k < 2m - 1. $$
• 나는 합계를 찾았다 $k=2m-1$. 사실,$$ \sum_{j = m}^{2m - 1}\ \frac{\binom{m}{2m-j\,\,}} {\binom{2m - 1\,\,}{j}} = 2m\left(H_{2m} - H_{m}\right), $$ 어디 $H_{j}$ 이다 $j$-차 고조파 수.

Answer 1

여기서 maxima 의 Zeilberger 패키지 ( Petkovsek, Wilf, Zeilberger "A = B" 에서 피투성이의 세부 사항을 살펴보십시오)는 귀하의 합계가 Gosper 합계가 아니라고 말합니다. 즉, 간단한 닫힌 형식이 없습니다.

Answer 2

잠시 동안 그 결과를 초기 하 함수로 표현할 수 있기를 바랐지만 실패했습니다.

우리가 $k=m+n$, 문제는 $$S_n=\sum_{j=m}^{m+n} \frac{\Gamma (j+1)\,\,\Gamma (m+n+1-j)}{\Gamma (m+n+1)} \,\binom{m}{2 m-j} $$ 쓸 수있는 $$S_n=\frac{\Gamma(m+1)}{n!\ \Gamma(m+n+1)} P_{n}(m)$$ 어디 $P_n$ 차수의 다항식 $2n$ (아무것도 고려할 수없는 것 같습니다. $n$).

첫 번째는 $$\left( \begin{array}{cc} n & P_n \\ 0 & 1 \\ 1 & m^2+m+1 \\ 2 & m^4+2 m^3+m^2+4 \\ 3 & m^6+3 m^5-2 m^4-9 m^3+13 m^2+18 m+36 \\ 4 & m^8+4 m^7-10 m^6-44 m^5+53 m^4+184 m^3+100 m^2+576 \end{array} \right)$$

계수에 대한 패턴을 찾을 수 없었습니다. [상수항이 $(n!)^2$ 그리고 그 계수 $m^{2n}$ 이다 $1$ (!!)].

내가 관찰 한 유일한 것은 $n$ 짝수, 용어는 $m$ 체계적으로 누락되었습니다.

증거 없이는 일반인을위한 폐쇄 형이 존재할 수 없다고 생각합니다. $n$.