$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $

Question

다음 한계를 해결해야합니다 $$ \lim_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x} $$ 내 솔루션은 다음과 같습니다.

$ \lim\limits_{x \to -\infty}{\sqrt{x^2+2x}+x}= \lim\limits_{x \to -\infty}{x \cdot\left(\sqrt{1+\frac{2}{x}}+1\right)}=- \infty$

올바른 결과는 $-1$,

그러나 나는 내가 어디에서 실수를하는지 이해할 수 없다.

Answer 1

이것 좀 봐: $$ \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$$ $$ = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-\sqrt{1 + \frac{2}{x}}-1}$$ $$ = \frac{2}{-1-1} = -1 \quad [\text{as }x< 0] $$

Answer 2

$\sqrt {x^{2}+2x} =-x (\sqrt {1+\frac 2 x})$ ...에 대한 $x <0$. 이제 사실을 사용하십시오$\sqrt {1+\frac 2 x} \sim 1+\frac 1 x+o(\frac 1 x)$ 한계가 있는지 확인하려면 $-1$.