Lorentz는 단일 변환으로 부스트
"Poincaré 그룹의 축소 불가능한 단일 표현을위한 속도 연산자 식별"기사에는 단일 변환으로 속도의 Lorentz 변환을 구현하는 공식이 있습니다.
https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.523342
다음과 같이 진행됩니다 : 속도 연산자의 구성 요소에 대한 Lorentz 변환을 고려하십시오. $\mathbf{V}\rightarrow\mathbf{V}'$. 속도 연산자는 고전 상대론 물리학의 속도 구성 요소처럼 변형됩니다. 로렌츠의 변형을 제공하는 단일 변형$\mathbf{V}$ 부스트에 의해 $z$ 요인이있는 방향 $\beta$ ~에 의해 주어진다
$$\mathbf{V}'=\exp\left(iK_{z}\tanh^{-1}\beta\right)\mathbf{V}\,\exp\left(-iK_{z}\tanh^{-1}\beta\right)$$
내가 이해하지 못하는 것은 속도가 요인에 나타나는 이유입니다. $\tanh^{-1}\beta$. Lorentz 그룹 (또는 Galilei 그룹)의 다른 시공간 변형과는 상당히 다른 것 같습니다.
답변
당신이 제시 한 속도 변환,
$$\mathbf{V}'=\exp{(iK_{z}\tanh^{-1}\beta)}\,\mathbf{V}\,\exp{(-iK_{z}\tanh^{-1}\beta)}\tag1$$
속도의 일반적인 Lorentz 변환과 동일합니다. $\beta\hat z$ 이다
$${V_x}'=\frac{\sqrt{1-\beta^2}\,V_x}{1-\beta V_z}\tag{2a}$$
$${V_y}'=\frac{\sqrt{1-\beta^2}\,V_y}{1-\beta V_z}\tag{2b}$$
$${V_z}'=\frac{V_z-\beta}{1-\beta V_z}\tag{2c},$$
그러나 그것은 복잡한 계산입니다. 나는 등가의 힘의 확장에서 용어별로 만 나타날 수 있다고 믿는다.$\beta$.
주석에서 (1)은 비 통근 가능성이있는 다양한 연산자, 즉 상대 론적 속도 연산자로 해석되어야한다고 설명했습니다.
$$\mathbf{V}\equiv\frac{\mathbf{P}}{H},\tag{3a}$$
Lorentz 부스트 생성기
$$\mathbf{K}\equiv\frac12(H\mathbf{X}+\mathbf{X}H),\tag{3b}$$
상대 론적 에너지 연산자
$$H\equiv(\mathbf{P}^2+m^2)^{1/2}.\tag{3c}$$
여기 $\mathbf X$ 위치 연산자이고 $\mathbf P$ 정규 정류 관계를 갖는 상대 론적 운동량 연산자
$$[X_j,P_k]=i\,\delta_{jk}.\tag4$$
(1)과 (2)의 동등성을 표시하려면 다음을 사용하십시오.
$$e^ABe^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\frac{1}{3!}[A,[A,[A,B]]]+\dots\tag5$$
함수에 대한 Taylor 시리즈에서 $f(t)=e^{tA}Be^{-tA}$. 방정식 (1)은
$$\begin{align}{V_i}'&=V_i+(i\tanh^{-1}\beta)[K_z,V_i]\\&+\frac{(i\tanh^{-1}\beta)^2}{2!}[K_z,[K_z,V_i]]\\&+\frac{(i\tanh^{-1}\beta)^3}{3!}[K_z,[K_z,[K_z,V_i]]]+\dots\,.\end{align}\tag6$$
따라서 다음 단계는 정류자를 계산하는 것입니다. $[K_z,V_i]$및 추가 중첩. 우리는
$$[K_z,V_i]=\left[\frac12(Hz+zH),V_i\right]=\frac12\left(H[z,V_i]+[z,V_i]H\right)=i(\delta_{iz}-V_iV_z).\tag{7a}$$
이것을 얻으려면 계산해야했습니다.
$$[z,V_i]=[z,H^{-1}P_i]=[z,H^{-1}]P_i+H^{-1}[z,P_i]=i\frac{\delta_{iz}-V_iV_z}{H}\tag{7b}$$
그리고 이것은 계산이 필요했습니다.
$$[z,H^{-1}]=[z,(\mathbf{P}^2+m^2)^{-1/2}]=[z,P_z]\frac{\partial}{\partial P_z}(\mathbf{P}^2+m^2)^{-1/2}=-i\frac{P_z}{H^3}.\tag{7c}$$
마지막 정류자는 신분을 요구했습니다
$$[A,f(B)]=[A,B]\frac{\partial f}{\partial B}\tag8$$
언제 유지 $[A,B]$ 둘 다 통근 $A$ 과 $B$.
(7a)에서 우리는
$$[K_z,V_x]=-iV_xV_z\tag{9a}$$
과
$$[K_z,V_z]=i(1-V_z^2).\tag{9b}$$
우리는 함께 부스트하고 있습니다 $z$, 그래서 가로 $y$ 방향은 가로 방향과 동일하게 작동합니다. $x$방향. 우리는 그냥 할거야$x$.
(9a)와 (9b)에서 중첩 된 정류자를 갈아 낼 수 있습니다. Mathematica 를 사용 하여 최대 10 개의 중첩을 수행했습니다. 그중 4 개를 보여 드리겠습니다.
에 대한 $V_x$ 중첩은
$$\begin{align} [K_z,V_x]&=-iV_xV_z\tag{10a}\\ [K_z,[K_z,V_x]]&=V_x \left(1-2 V_z^2\right)\tag{10b}\\ [K_z,[K_z,[K_z,V_x]]]&=i V_x V_z \left(-5+6 V_z^2\right)\tag{10c}\\ [K_z,[K_z,[K_z,[K_z,V_x]]]]&=V_x \left(5-28 V_z^2+ 24 V_z^4\right)\tag{10d} \end{align}$$
그리고 $V_z$ 중첩은
$$\begin{align} [K_z,V_z]&=i(1-V_z^2)\tag{11a}\\ [K_z,[K_z,V_x]]&=2 V_z \left(1-V_z^2\right)\tag{11b}\\ [K_z,[K_z,[K_z,V_z]]]&=2 i \left(1-4 V_z^2+3 V_z^4\right)\tag{11c}\\ [K_z,[K_z,[K_z,[K_z,V_z]]]]&=8 V_z \left(2-5 V_z^2+3 V_z^4\right).\tag{11d} \end{align}$$
보시다시피 분명한 패턴이 없습니다. 기본적으로 엉망입니다.
그런 다음 중첩 된 정류자를 (6)에 삽입하고 $\tanh^{-1}\beta$ 의 힘으로 $\beta$. 주문을 통한 결과$\beta^4$ 이다
$$\begin{align} {V_x}'&=\beta V_x V_z +\beta ^2 \left(V_x V_z^2-\frac{V_x}{2}\right) +\beta ^3 \left(V_x V_z^3-\frac{V_x V_z}{2}\right)\\ &+\beta ^4 \left(V_x V_z^4-\frac{1}{2} V_x V_z^2-\frac{V_x}{8}\right) +O\left(\beta ^5\right)\tag{12a} \end{align}$$
$$\begin{align} {V_z}'&=V_z +\beta \left(V_z^2-1\right) +\beta ^2 \left(V_z^3-V_z\right) +\beta ^3 \left(V_z^4-V_z^2\right)\\ &+\beta ^4 \left(V_z^5-V_z^3\right) +O\left(\beta ^5\right).\tag{12b} \end{align}$$
(12a)는 (2a)의 테일러 확장이고 (12b)는 (2c)의 테일러 확장입니다. (주문을 통해 확인$\beta^{10}$.) 이것은 상대 론적 속도 변환을 수행하는 두 가지 방법, (1)과 (2)의 동등성을 보여줍니다.
나는 누군가의 힘으로 순서대로 그것을하지 않고 동등성을 증명할 수 있다면 감동 할 것입니다. $\beta$.
이것은 동기를 부여하지 않습니다. $\tanh^{-1}\beta$(1)에 나타납니다. 그러나 그렇게 나타나지 않으면 (1)은 (2)와 동일하지 않습니다. 나는 당신이 기대할 수있는 이유를 설명하는 별도의 답변을 쓸 것입니다$\tanh^{-1}\beta$ 지수에서 부스트 생성기를 곱하는 요인으로 나타납니다.
우리가 쓰면 $\beta\equiv v/c= \tanh s$, 다음 $s$는 IS 신속성은 . 두 개의 병렬 부스트를 신속하게 결합하면$s_1$ 과 $s_2$ 결합 된 부스트는 빠르다 $s_1+s_2$ 그래서 $s=\tanh^{-1} \beta$ 부스트를 설명하는 자연 변수입니다.
동기를 부여하기 위해 $\tanh^{-1}\beta$수식에서 부스트 생성기에 지수를 곱하는 요소로 표시됩니다. 훨씬 더 간단한 변환, 즉 좌표의 Lorentz 변환을 고려하십시오. 부스트를 위해$\beta\hat z$, 이것은
$$ \begin{pmatrix}t'\\x'\\y'\\z' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\gamma & 0 & 0 & -\gamma\beta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t\\x\\y\\z \end{pmatrix}\tag1 $$
어디 $\gamma\equiv(1-\beta^2)^{-1/2}$.
이 부스트 매트릭스를 쉽게 보여줄 수 있습니다. $B(\beta,\hat z)$, 그냥
$$B(\beta,\hat z)=e^{-K_z \tanh^{-1}\beta}\tag2$$
어디
$$K_z=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\tag3$$
부스트 생성기입니다. $z$-방향.
(이 발전기를 어떻게 구할 수 있습니까? 속도에 의한 극소 한 부스트를 관찰함으로써 $\epsilon \hat z$ 이다 $B(\epsilon,\hat z)\approx I-\epsilon K_z$.)
행렬 지수는 멱급수로 정의됩니다.
$$e^{-\zeta K_z}\equiv I-\zeta K_z+\frac{\zeta^2}{2!}K_z^2-\frac{\zeta^3}{3!}K_z^3+\frac{\zeta^4}{4!}K_z^4+\dots,\tag4$$
내가 쓸 곳 $\zeta\equiv\tanh^{-1}\beta$ 편의상.
지금 $K_z$ 좋은 속성이 있습니다
$$K_z^3=K_z\tag5$$
따라서 모든 더 높은 힘 $K_z$ 둘 중 하나로 줄이다 $K_z$ 또는 $K_z^2$. 따라서 (4)는
$$\begin{align} e^{-\zeta K_z}&=I-\left(\zeta+\frac{1}{3!}\zeta^3+\frac{1}{5!}\zeta^5+\dots\right)K_z\\ &+\left(\frac{1}{2!}\zeta^2+\frac{1}{4!}\zeta^4+\frac{1}{6!}\zeta^6+\dots\right)K_z^2\tag{6a}\\ \\ &=I-(\sinh\zeta)K_z+(\cosh\zeta-1)K_z^2\tag{6b}\\ \\ &=\begin{pmatrix} \cosh\zeta & 0 & 0 & -\sinh\zeta\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ -\sinh\zeta & 0 & 0 & \cosh\zeta \end{pmatrix}.\tag{6c} \end{align}$$
드디어, $\tanh\zeta=\beta,$ 암시한다 $\cosh\zeta=\gamma$ 과 $\sinh\zeta=\gamma\beta$, 따라서 (2)의 부스트는 (1)의 부스트와 같습니다.
Mike Stone의 대답을 확장하기 위해 Lorentz 부스트는 단순히 회전이며 전통적인 $dx/dt$ 속도는 기울기입니다.
2D 유클리드 공간에서 기울기를 기준으로 원점 보존 회전을 매개 변수화 할 수 있습니다. $m=dy/dx$ 선을 회전하는 선의 $y=0$. 그렇게했다면 회전 각도는 경사와 관련이 있습니다.$θ=\tan^{-1} m$, 두 슬로프의 "합" $m$ 과 $m'$, 회전 구성에 해당하는 기울기를 의미합니다. $m$ 과 $m'$, 될 것입니다 $\frac{m+m'}{1-mm'}$. 시공간에서 상황은 정확히 동일하지만 메트릭의 부호 변경으로 인해$\tanh$ 대신에 $\tan$, 기울기 "추가"공식의 분모 부호가 반전됩니다.
Lorentz 부스트를 다음과 같이 작성 $\exp i K_z α$ 복잡한 평면에 회전을 쓰는 것과 밀접한 관련이 있습니다. $\exp i θ$. 이 공식 (오일러 공식)을 다른 연속 대칭에 대한 일반화는 거짓말 대수 및 거짓말 그룹 이론입니다 .