만약 $\mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty$, 또한 $\mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty$?

Question

허락하다 $(E_1,\mathcal E_1)$ 과 $(E_2,\mathcal E_2)$두 개의 측정 가능한 공간이어야합니다. 허락하다$(E=E_1\times E_2,\mathcal E=\mathcal E_1\times \mathcal E_2)$. 허락하다$\mathbb P$ 유효한 확률 분포 $(E,\mathcal E)$. 주변 분포 정의$\mathbb P_1(A)=\mathbb P (A\times E_2)$ 과 $\mathbb P_2(A)=\mathbb P (E_1\times A)$, 마지막으로 제품 분포를 표시합니다. $\mathbb P_1\times \mathbb P_2$. 마지막으로 우리가 알고 있다고 가정합니다.\begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P} \vert f(X,Y)\vert <\infty.\end{align*} 내 질문은 \begin{align*} \mathbb E_{\mathbb P_1\times \mathbb P_2} \vert f(X,Y)\vert <\infty?\end{align*}

특히, 그것이 거짓이라면 반례를보고 싶습니다. $f(X,Y)=g(X)h(Y)$ 일부 기능 $g$ 과 $h$.

Answer 1

일반적으로 사실이 아닙니다.

허락하다 $E_1 = E_2 = \mathbb{R}$, 그리고 $\mu$ 확률 측정 $\mathbb{R}$첫 번째 순간없이 (예 : 코시 분포). 허락하다$\mathbb{P}$ 합동 법이다 $(X, X)$ 어디 $X \sim \mu$. 마지막으로$f(x,y) = x-y$. 아래에$\mathbb{P}$, 우리는 $Y=X$ 따라서 $f(X,Y)=0$ 그래서 $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|X-Y| = 0$. 하지만 아래$\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2$, 우리는 $X,Y$ 괜찮아 $\mu$, 그리고 다음과 같습니다. $\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} |X-Y| = \infty$. 이것을 보려면 Tonelli의 정리를 사용하여$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2} = \int \mathbb{E}|X-y| \,\mathbb{P}_1(dy)$$ 적분은 동일하게 $+\infty$, 사용 $|X-y| \ge |X|-|y|$.

그것은 사실이 아닙니다 $f(x,y) = g(x) h(y)$. 허락하다$W$ 무한한 첫 번째 순간을 가진 랜덤 변수이고 $Z$ 베르누이 (1/2) 확률 변수 $W$. 허락하다$\mathbb{P}$ 합동 법이다 $(WZ, W(1-Z))$, 설정 $f(x,y) = xy$, 형식은 $g(x) h(y)$. 그때$$\mathbb{E}_{\mathbb{P}}|XY| = \mathbb{E} |W^2 Z (1-Z)| = 0$$ 때문에 $Z(1-Z)=0$ 하지만 $WZ, W(1-Z)$ 동일하게 분포되어 있으므로 $$\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2}|XY| = (\mathbb{E}|WZ|)^2 = (\mathbb{E}|W| \cdot \mathbb{E}|Z|)^2 = \frac{1}{4} (\mathbb{E}|W|)^2 = \infty.$$