메트릭의 변화
나는 Hilbert 함수의 Euler-Lagrange 방정식으로 아인슈타인 장 방정식의 유도를보고 있습니다. 이렇게하려면 변형으로 시작합니다.$$ g(t) = g+th $$ 메트릭의, 여기서 $h$대칭 2- 공변 텐서입니다. 작은$t$, $g(t)$ (행렬로 해석하는 경우) 역전 될 수 있으므로 구성 요소를 고려하는 것이 좋습니다. $g(t)^{ij}$역의. 우리는$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ 내 질문 : 계수는 정확히 무엇입니까$h^{lk}$ 말하다?
저는 항상 1 공변 텐서를 가지고 있다면 $A = A_i dx^i$, 다음 $A^i$ 1- 반 변성 텐서의 구성 요소를 나타냅니다. $A^\#$(cf. 음악적 동형 ), 주어진$A^i = g^{ij}A_j$. 그러나 공식에서$h^{lk}$ 위에서 우리는 또한 마이너스 기호가 앞에 있습니다. 제가 계수를 볼 수있는 한 $h^{lk}$ 지수를 올리면 얻을 수 없습니다. $h_{lk}$. 즉,이 경우 메트릭은 실제로 고정되어 있지 않으므로 음악적 동형도도 마찬가지입니다. 이는 저에게 혼란의 원인이 될 수 있습니다.
답변
당신의 실수는 $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$사실로, $h^{jk}$ 되고 모두 지수 상승에 의한$h_{jk}$. 당신이 보여준 것은$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$그이면의 철학은 : 곡선의 초기 속도가 $t\mapsto g(t)$ 이다 $h$, 다음과 관련된 다른 기하학적 객체의 초기 속도를 계산하려고합니다. $g(t)$ 측면에서 $h$. 역 계수 곡선의 초기 속도는 다음과 같습니다.$-h$ (음악적 동형까지).
계수를 다루면서 행렬 Lie 그룹에 대한 계산을 수행합니다. 거기에서 반전의 미분 공식은$\iota(A)=A^{-1}$ ~에 의해 주어진다 $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, 그래서 모든 것이 좋습니다 (비교 $(1/x)'=-1/x^2$그리고 그것을 비 교환 적으로 만듭니다. 마다$A^{-1}$ 하나의 인덱스를 올리는 것에 해당)