n- 카테고리의 정의
표준 정의는 무엇입니까 (있는 경우) $n$-2020 년 기준 카테고리? 내가 활용할 수있는 문헌은 상당히 제한적이지만 지금까지 내가 가진 것을 나열하기 위해 최선을 다할 것입니다.
[Lei2001]에서 Leinster는 $n$-category, 동등 여부에 대해서는 언급하지 않았습니다. [BSP2011]에서 저자는 공리를 설정하고 모든 (많은?) 정의가$(\infty,n)$-카테고리는 지금까지 공리를 충족하므로 동등합니다 (일부 행동까지). 완전성을 위해 여기에 이러한 정의를 포함합니다.
- (a) Charles Rezk의 완전한 Segal Θn 공간,
- (b) n- 폴드 완전한 Segal 공간,
- (c) André Hirschowitz와 Simpson의 Segal n- 카테고리,
- (d) Clark Barwick과 Dan Kan의 n- 상대 범주,
- (e) 기본 호모 토피 이론이 (∞, n)-카테고리의 호모 토피 이론 인 모든 내부 모델 범주에서 강화 된 범주,
- (f) n = 1 일 때 Boardman과 Vogt의 준 범주,
- (g) n = 1 일 때, Lurie의 표시된 단순화 세트
- (h) n = 2 일 때 Lurie의 척도 화 된 단순화 집합,
그러나 [Lei2001]의 모든 사례가 다루어지지 않는 것 같고 여기에 더 많은 사례가 있습니다 . 정의하는 것의 중요한 차이점은 무엇입니까$n$-카테고리 및 $(\infty,n)$-범주?
질문
요컨대, 상위 카테고리에 대한 많은 정의가 있습니다. 그래서 우리는 어떤 것을 사용해야합니까? 모든 정의의 목록과 어떤 의미에서 어떤 것과 동등한 토론이 있습니까? 어떤 정의가 세 가지 가설을 충족하는지에 대한 토론도 있습니까?
- 안정화 가설
- 엉킴 가설
- 코 보디 즘 가설
[BD1995]에서 가정합니까?
참고
- [Lei2001] : n-Category- [Tom Leinster]-[arXiv : math--0107188]의 정의 조사
- [BSP2011] : 더 높은 범주의 Homotopy 이론의 Unicity- [Clark Barwick 및 Christopher Schommer-Pries]-[arXiv : 1112.0040]
- [BD1995] : 고차원 대수 및 위상 양자 장 이론-[John C. Baez 및 James Dolan]-[arXiv : q-alg--9503002]
관련
- 다양한 기반에 대한 개발 번역
답변
우선, 엄격한 개념 사이에는 중요한 차이점이 있습니다. $n$-카테고리, 약함 $n$-카테고리 및 $(\infty,n)$-범주. 가장 쉬운 개념은 엄격한$n$-카테고리, 거기에 정의에 대한 의심의 여지가 없습니다 : 엄격한$0$-카테고리는 세트이며, 유도에 의해 엄격한 $n$-category는 카테고리가 풍부한 카테고리입니다. $(n-1)$-카테고리.
약점 개념에 대한 초기 모델을 도입 한 Baez와 Dolan의 논문을 인용 해 주셔서 감사합니다. $n$-범주. 1995 년과 2001 년 사이에 다른 모델이 엄청나게 확산되었습니다. 도덕적으로, 그들은 범주해야 약하게 농축 약자의 범주에$(n-1)$-범주이지만 약한 농축을 정의하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 높은 세포와 이들이 결합하는 방법을 추적하는 방법은 다양하기 때문입니다. 2004 년에는 모두를 모으고 모델 간의 공통점을 파악하고 다른 모델과 동등한 점을 파악하기 위한 회의 가있었습니다. 그것은 하나의 "표준"모델로 떠오르는 결과를 낳지 않았고, 나는 그것이 곧 일어날 것이라고 기 대해서는 안된다고 생각합니다. 그러나 이제 우리는 약한 모델을$n$-범주는 크게 두 개의 진영으로 나뉩니다. Wikipedia는 다음과 같이 멋지게 말합니다 .
이론에는 기본적으로 두 가지 종류의 이론이 있습니다. 즉, 더 높은 셀과 더 높은 구성이 대수적으로 실현되는 이론 (가장 현저하게는 Michael Batanin의 약한 상위 범주 이론)과 더 많은 토폴로지 모델이 사용되는 이론 (예 : 만족스러운 단순 집합으로서 상위 범주)이 있습니다. 일부 보편성 속성).
Wikipedia는 또한 "몇 가지 정의가 주어졌고 그것이 언제 동등하고 어떤 의미에서 어떤 의미에서 범주 이론에서 새로운 연구 대상이되었는지에 대한 정의가 주어졌습니다."라고 말합니다. 이것은 현재의 분야에 대한 나의 이해와 일치합니다. 상위 카테고리 이론은 약한 모델에 대한 질문에 관심이 있다고 생각합니다.$n$-카테고리. 그것은 연구와 다릅니다$(\infty,n)$-범주, 동형 이론에 더 많이 위치합니다.
이제 다른 사람들이 와서 "$(\infty,n)$-범주가 옳습니다. "MathOverflow는 상위 범주 이론가보다 동성애 이론가를 더 많이 표현하고 있기 때문입니다. nLab을 읽으면서도 누가 글을 쓰는지에 따라 동일한 느낌을받을 수 있습니다.하지만 호주 시드니에서 어울리면 더 높은 범주의 이론이 살아 있고 잘 살아있는 곳에서는 사람들이 $(\infty,n)$-카테고리는 "올바른"모델이거나 단일성 정리 $(\infty,n)$카테고리는 2004 년부터 약한 모델을 파악하는 문제를 해결합니다. $n$-카테고리는 동일합니다.
또한 다양한 약자 모델에서 안정화 가설, 얽힘 가설 및 코 보디 즘 가설과 관련된 많은 작업이 진행 중입니다. $n$-카테고리. 예를 들어 Batanin은 최근 Rezk의 모델에 대한 안정화 가설을 입증 했습니다.$\Theta_n$-공백. 그런 다음 Batanin과 나는 약한 정의의 전체 클래스를 유지하는 또 다른 증거 를 제공했습니다.$n$-Rezk의 모델을 포함한 카테고리. 1998 년 에 Carlos Simpson은 Tamsamani의 약한 n- 카테고리 정의에 대한 안정화 가설을 입증했습니다. Gepner와 Haugseng 은 다음에 대한 안정화 가설을 입증했습니다.$(\infty,n)$-Haugseng의 박사 논문을 사용하여 얻을 수있는 약한 강화의 유형 및 $\infty$-카테고리). 물론, 유명하게 Lurie는 다음에 대한 cobordism 가설을 증명하기 위해 수천 페이지를 썼습니다.$(\infty,n)$-categories, Ayala와 Francis는 factorization homology를 사용하여 더 짧은 증명 을 제공했습니다 .
내가 놓친 문헌이 많을 것이라고 확신하며, "예, 약한 모델을 연구하는 것은 여전히 가치가 있습니다. $n$-공부 만하는 것이 아닌 카테고리 $(\infty,n)$-카테고리. "하지만 참고 자료를 요청 하셨으므로 여기에 시작하실 수 있습니다.