p-adic 숫자에 대한 질문

Question

나는 배우려고 노력하고있다 $p$-adic 숫자와 몇 가지 질문이 있습니다. 나는 Wikipedia 페이지 에서 동기에 대해 배우려고 노력했는데 , 이는 매우 명확하고 몇 가지 간단한 예를 통해 이루어졌습니다.

하지만 다음을 이해하는 데 문제가 있습니다.

• 건설에 대한 대수적 접근 방식을 취하면 먼저 $\mathbb{Z}_p$ 그리고 그것들로부터 우리는 $\mathbb{Q}_p$ 그것을 분수의 필드로 취함으로써 $\mathbb{Z}_p$. 내가 이해하지 못하는 건 반지의 제로$\mathbb{Z}_p$. 예를 들어$p=7$(0,7,7,7,7, ...)과 (0,7,7,7,56,56,56, ....) 둘 다 역이 없습니다. 둘 다 제로 인$\mathbb{Z}_p$? 이것은 7과 14가 모두 0 인 것과 같은 것입니까?$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$?

• 마다 $x\in \mathbb{Q}_p$ 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $x=p^{-n}u,$ 어디 $n\in \mathbb{N}, u \in \mathbb{Z}_p^*.$이것이 사실 인 이유는 무엇입니까? 그래서 이해합니다$x=\frac{a}{b}, a,b\in \mathbb{Z}_p,$ 그래서 우리는 $a=p^ku, b=p^mv, m,k\in\mathbb{N}, u,v\in \mathbb{Z}_p.$ 그러나 나는 계속하는 방법을 모른다.

Answer 1

아니 그들은 0이 아닙니다. $\mathbb{Z}_7$ 하지만 이것이 0이어야한다는 의미는 아닙니다. $\mathbb{Z}_7$ 같은 반지입니다 $\mathbb{Z}$ 0이 아닌 반전 불가능한 요소가 많이 있습니다.

반전 가능한 요소를 설명 할 수 있습니다. $\mathbb{Z}_7$: 시퀀스를 반전 할 수 있습니다. $\mathbb{Z}_7$첫 번째 구성 요소 인 경우에만 7로 나눌 수 없습니다. 그 이유는$\mathbb{Z}/7^n$7의 coprime은 고유 한 역을 가지고 있습니다. 따라서 역을 구성 요소별로 취할 수 있고 서로 호환됩니다.

이 사실에 의해 당신은 $\mathbb{Z}_7$ 형식으로 작성할 수 있습니다. $7^nu$ 당신의 두 번째 질문은 다른 언어로 된 사실입니다.