Picard-surjectivity와 Morita-equivalence

Question

대수가 $A$ 들판 위에 $k$ 표준지도가 다음과 같은 경우 Picard-surjective입니다. $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$추측입니다. 여기$\mathrm{Pic}(A)$ invertible의 isomorphism 클래스 그룹을 나타냅니다. $A$-$A$-bimodules 및 맵이 자동 변형을 보냅니다. $\alpha$ ~로 $A$-$A$-bimodule $A_\alpha$, 왼쪽 작업은 일반적인 작업이고 오른쪽 작업은 $\alpha$.

Q : 주어진 유한 차원에 대해$k$-대수학 $A$, Picard-surjective 인 Morita와 동등한 것이 있습니까?

그렇지 않다면, 이것이 사실 인 조건에 관심이 있습니다. 나는 주로 사건에 관심이 있습니다$k=\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$, 그리고 내가 지금까지 생각 해낸 모든 예에 대해 내가 말할 수있는 한 이것은 올바른 것 같습니다.

Answer 1

예, 기본 대수 $A$ Picard-surjective가 될 것입니다.

기본 대수는 endomorphism 대수입니다. $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$분해 불가능한 투영 (오른쪽) 모듈의 직접 합계, 각 동형 클래스에서 하나씩. 모리타에 상응하는$A$.

가정 $A$기본입니다. 그런 다음 왼쪽 또는 오른쪽 모듈로$A$각 동형 클래스에서 하나씩, 분해 할 수없는 투영 모듈의 직접 합계입니다. 가정$M$반전 가능한 이중 모듈입니다. 이후$S\otimes_AM$ 모든 단순 모듈에 대해 0이 아닙니다. $S$, 직접 합계 분해 $M$왼쪽 모듈은 분해 불가능한 각 투영의 사본을 하나 이상 포함해야합니다. 허락하다$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ 단순함의 직접적인 합 (오른쪽) $A$-모듈, 각 동형 클래스에서 하나씩. 이후$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$, 왼쪽 모듈로 $M$직접 합계 분해에서 분해 할 수없는 각 투영법의 사본 하나를 정확히 포함해야합니다 . 그래서$M\cong A$왼쪽 모듈로. 권리$A$-모듈 구조 $M$ 그런 다음 주 사용 대수 동형이 주어집니다. $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$, 이것은 유한 차원성에 의한 동형입니다. 즉, 올바른 행동은 다음의 자동 형태에 의해 유도됩니다. $A$.