풀백 번들에 연결.

Question

허락하다 $E\to N$ 벡터 번들이고 $f:M\to N$매끄러운지도가됩니다. 철수$f^*:\Omega^k(N,E)\to \Omega^k(M,f^*E)$ 그런 다음 $$(f^*\omega)_x(v_1,...,v_k)=\omega_{f(x)}((df)_x(v_1),...,(df)_x(v_k))$$ 와 $x\in M$ 과 $v_1,...,v_k\in T_xM$.

첫 번째 질문 :이 풀백을 맵으로 다시 작성할 수있는 방법$f^*\omega:\mathfrak{X}(M)\times...\times \mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*E)$? 내 문제는$df:\mathfrak{X}(M)\to \mathfrak{X}(N)$ 잘 정의되어있는 한 $f$diffeomorphism입니다. 하나,$df:\mathfrak{X}(M)\to \Gamma(M,f^*TN)$ 실제로 잘 정의되어 있습니다.

그런 다음 연결이 $f^*\nabla$ 의 위에 $f^*E\to M$ 고유하게 결정되는 $$(f^*\nabla)(f^*s):=f^*(\nabla(s))\in \Omega^1(M,f^*E)$$

두 번째 질문 : 일부 책에서 저는$$(f^*\nabla)_X(f^*s)=f^*(\nabla_{df(X)}(s))=\nabla_{df(X)}(s)\circ f$$ 그러나 한 $f$ diffeomorphism이 아닙니다 $df(X)$ 벡터 필드가 아닙니다. $N$ 그래서 쓰기가 말이되지 않습니다 $\nabla_{df(X)}$. 이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까?

Answer 1

풀백을 모듈 맵으로 전역 적으로 작성하려면 구성을 두 부분으로 분할해야합니다. 모든 것을 덜 혼란스럽게 만들기 위해$f^{\star}(E)$ 풀백 번들 및 표시 $\mathfrak{X}_f(M) = \Gamma(M,f^{\star}(TN))$ 따라 벡터 필드 $f$. 따라서, 관련지도 및 구성$\star$ 미분과는 아무 관련이 없지만 $*$파생 상품을 포함하십시오. 지금,

1. 주어진 양식 $\omega \in \Omega^k(N,E)$, 우리는 요소를 얻습니다 $f^{\star}(\omega) \in \Gamma \left( \operatorname{Alt}^k \left( f^{\star}(TN), f^{\star}(E)\right) \right)$ 주어진 $$ f^{\star}(\omega)|_p \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right) = \omega_{f(p)} \left( \xi_1, \dots, \xi_k \right)$$ 어디 $\xi_i \in \mathfrak{X}_f(M)$ 따라 벡터 필드 $f$ 그래서 $\xi_i(p) \in T_{f(p)}N$그리고 공식은 의미가 있습니다. 전 세계적으로 이것은 교대지도에 해당합니다.$C^{\infty}(M)$-모듈 $$f^{\star}(\omega) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \dots \mathfrak{X}_f(M) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E)).$$
2. 또한지도가 있습니다. $df \colon \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}_f(M)$. 그때$$ f^{*}(\omega)(X_1, \dots, X_k) = f^{\star}(\omega)(df(X_1), \dots, df(X_k)). $$

두 번째 질문에 대한 공식 $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = \nabla_{df(X)}(s) \circ f $$ 지역적으로 다음과 같이 이해되어야합니다. $$ \left( f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) \right)|_{p} = \left( \nabla_{df|_{p}(X)}(s) \right) \textrm{ (at }f(p)\textrm{)}.$$ 언제라도 의미가 있습니다. $f$ 연결로서의 이형성이 아니다 $\nabla_X(s)$ 에 tensorial입니다 $X$변하기 쉬운. 풀백 연결의 구성을 두 부분으로 나누어 전체적으로 공식을 이해할 수도 있습니다.

1. 지도가 있습니다 $f^{\star}(\nabla) \colon \mathfrak{X}_f(M) \times \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ 주어진 $$ \left( f^{\star}(\nabla)_{\xi} \right)(s)|_{p} = \left( \nabla_{\xi(p)} s \right)|_{f(p)}. $$
2. 풀백 연결 $f^{*}(\nabla)$ 독특한 연결입니다 $f^{*}(\nabla) \colon \mathfrak{X}(M) \times \Gamma(f^{\star}(E)) \rightarrow \Gamma(f^{\star}(E))$ 만족하는 $$ f^{*}(\nabla)_{X}(f^{\star}(s)) = f^{\star}(\nabla)_{df(X)}(s). $$